张雷，蒋智宁，胡波，李春亭

（1.上海贝尔股份有限公司，上海201206；2.复旦大学电子工程系，上海200433）

TDD 系统中非完美信道信息条件下双流波束赋形吞吐量分析✴

张雷1，2，蒋智宁1，胡波2，李春亭1

（1.上海贝尔股份有限公司，上海201206；2.复旦大学电子工程系，上海200433）

在时分双工多天线系统中，由于上行信道估计误差和上下行传输时延，上下行链路信道的互易性并不完美；且终端也存在信道估计误差。针对包含这些因素的非完美信道信息条件下的双流波束赋形，导出了吞吐量准确值及其下界的表达式。分析表明，当下行链路信噪比趋于无穷大时，由终端信道估计误差导致的每一路数据流的吞吐量损失几乎不超过lb 3 bit／s·Hz-1。数值和仿真结果表明，所得吞吐量下界与准确值较为接近；且与完美信道信息情形相比，非完美信道信息对系统的复用增益没有影响，只会降低系统的阵列增益。

多入多出；时分双工；双流波束赋形；非完美信道信息；吞吐量分析

1 引言

在无线多入多出（Multiple-Input Multiple-Output， MIMO）系统中，若基站预知信道状态信息（Channel State Information，CSI），则可采用简单的波束赋形（Beamforming）技术获得阵列增益和分集增益［1］。频分双工（Frequency Division Duplex，FDD）系统的上下行链路CSI不具有互易性，故通常需要终端反馈CSI给基站［2］。文献［3-5］分析了FDD系统中各种反馈模式下的吞吐量（Throughout）或误码率性能。

然而，反馈会增加FDD系统的开销。在时分双工（Time Division Duplex，TDD）系统中，上下行链路的CSI通常具有互易性，因此，基站可以在当前时刻利用接收到的上行链路导频信号估计出下行CSI，从而计算出用于下一时段的发射波束赋形向量或矩阵。但是，基站的CSI估计误差和上下行链路的时分复用特性导致的传输时延都会使得这种互易性不再理想。文献［6，7］分别研究了非理想互易性对多入单出（Multiple-Input Single-Output，MISO）系统中单流波束赋形的误码率影响和MIMO系统中双流波束赋形的吞吐量影响。不过，这两篇文献均假设终端能完美估计等效的下行信道。鉴于此，本文在文献［7］的基础上，进一步考察了终端也存在信道估计误差时的双流波束赋形吞吐量。先推导出每个数据流的后验信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR），然后得到了与之对应的吞吐量准确值及其下界表达式，它可以看作文献［7］中对应表达式的推广。此外，分析还表明，当下行链路信噪比趋于无穷大时，由终端信道估计误差导致的每一路数据流的吞吐量损失几乎不超过lb 3 bit／s·Hz-1。数值和仿真结果表明：所得下界与准确值较为接近；上下行链路CSI互易性的变化和终端信道估计误差只会影响系统的阵列增益，而对系统的复用增益没有影响。

对本文中符号说明如下：大小写黑斜体字母分别表示矩阵和（列）向量；I表示单位矩阵；0表示元素全为0的向量；（·）T和（·）H分别表示转置和Hermitian转置；‖·‖表示Frobenius范数；C Cn×m表示n ×m维复矩阵空间；vec（A）表示矩阵A的列展开；EX（·）表示关于随机变量X的数学期望，当不致引起混淆时，也用E（·）表示；CN（m，Σ）表示均值向量为m、协方差矩阵为Σ的复高斯随机向量分布。

2 系统模型

考虑基站有M个天线、终端有N个天线（2≤N≤M）且采用双流波束赋形的下行链路。实际信道一般是频率选择性的，但采用正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技术可以将宽带信道转化为多路窄带信道［8］，故为分析方便，可假设收发两端之间的信道是平坦衰落的。由此，系统的基本输入输出关系可表示为

式中，r∈C CN×1表示接收信号向量；信道矩阵H∈C CN×M假设满足vec（H）～CN（0，I）；F∈C CM×2表示双流波束赋形矩阵，且满足FHF=I；s=［s1s2］T表示发射信号向量，且满足功率约束条件E ss() H=P I／2；z∈C CN×1表示加性噪声向量，且满足z～CN（0，I）。定义信噪比为总的平均发射功率与每个接收天线处的噪声功率之比。由以上假设知，总的平均发射功率为E[（Fs）HFs]=P，且噪声平均功率为1，故所述系统的信噪比在数值上等于P。

对TDD系统，非完美信道信息条件下双流波束赋形的过程可详述如下：

步骤1：根据上下行链路信道的互易性，基站通过终端在上行链路发射的导频信号来获取下行信道H的估计值˜H。假设上行采用最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）信道估计［9］，且信道的时变特性服从经典的Jakes模型［10］，则H和˜H之间可用如下的一阶自回归模型表示［3］：

式中，α为互易度因子，表示H和˜H之间的互易程度（包含了上行信道估计误差和上下行链路传输时延两方面的影响）；E为与˜H独立的误差矩阵，满足vec（E）～CN（0，I）。

步骤2：基站对˜H做奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）［11］，即˜H=UΣVH，这里U、Σ和V分别为˜H的左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。取V中与最大两个奇异值对应的两列构成波束赋形矩阵F，并对s做双流波束赋形。

步骤3：终端通过基站在下行链路发射的导频信号估计等效信道矩阵G≜HF，并做相应的MIMO信号检测。

进一步，等效信道矩阵G=αUΣVHF+βEF。首先，容易得到UΣVHF=[σ1u1σ2u2]，这里σ1和σ2分别为˜H的第一大和第二大奇异值，u1和u2分别为σ1和σ2对应的左奇异向量；其次，设EF=［n1n2］，由于FHF=I，故EF和E中各元素的统计分布特性相同，即n1，n2～CN（0，I）。由此，G可表示为易得ρg1≜E(‖g1‖2)=α2σ21+β2N和ρg2≜E(‖g2‖2)=α2σ22+β2N。

由以上分析知，系统的基本输入输出关系式（1）可重写为将式（3）看作系统的等效输入输出关系，它等价于一个两发N收的MIMO。

设终端通过MMSE信道估计获取g1和g2的估计值12，它们之间可建模为

3 吞吐量分析

3.1 MMSE线性接收准则

目前，考虑到终端性能和复杂度的折衷，业界一般采用MMSE线性接收准则，本文也遵从这一假设。对应于s1和s2的MMSE滤波器向量为

由式（6）可看出，由于信道信息不完美，两个数据流滤波后所得信号中均包含了有用信号、自干扰信号、互干扰信号和白噪声，比文献［7］对应的表达式更为复杂。

3.2 吞吐量推导

分析系统吞吐量的关键是推导出两个数据流的后验SINR。由式（3）、（5）和（6）可知，s1和s2具有对称性，以下将以s1为例进行分析。对s1，其滤波后的后验SINR为

将上式中“｛｝”内的部分进一步展开，得：

故：

最后，将式（12）代入式（10）得：

由式（13）知，所得R1，LB（P）的表达式中仅包含系统相对固定的参数和每次信道实现时终端能观测到的参数，便于理论计算。

由对称性，s2对应的后验SINR为

其吞吐量及其下界分别为

和

3.3 与终端信道估计无误情形的比较

以s1为例，当终端信道估计无误时，其吞吐量为［7］

将ai2=1（即bi2=0）代入式（13）中，得到终端信道估计无误时s1对应的吞吐量：

式中，最后一处“=”成立利用了“ai2=1时，有g＾1=exp（θj1）g1和g＾2=exp（θj2）g2，θ1和θ2为任意实数”这一事实。由对称性，对s2有相同结论。可见，本文的系统模型和吞吐量表达式可以看作文献［7］的推广。

此外，定义吞吐量损失为

以s1为例，当P→∞时，有：

式中，“≈”成立利用了“P→∞时，终端信道估计误差趋于零，导致＾g1→exp（jθ1）g1和＾g2→exp（jθ2）g2，θ1和θ2为任意实数”这一事实。由对称性，对s2有相同表达式。故有如下结论：当信噪比趋于无穷大时，对每一路数据流，由终端信道估计误差导致的吞吐量损失几乎不超过lb 3 bit／s·Hz-1。

4 数值和仿真结果

在数值计算和仿真中，设定M=4、N=2，所用系统模型及处理流程与第2部分描述完全一致。

图1给出了信道互易度因子α为0.8和0.6两种情形下两个数据流的吞吐量与信噪比的关系。其中准确值根据式（7）和（8）、式（14）和（15）计算和Monte Carlo仿真而得，下界根据式（13）和（16）计算和Monte Carlo仿真而得，“总和”表示两路数据流吞吐量之和。从中可看出：

（1）对每个数据流及其总和，准确值与对应的下界较为接近，这表明所得下界比较合理；

（2）当α相同时，第一个和第二个数据流只有相对平移，而斜率几乎相同，这表明即使系统的信道信息不完美，相对第一个数据流，第二个数据流也只有阵列增益损失；

（3）对每个数据流及其总和，不同α对应的曲线在中高信噪比（P≥10 dB）区域只有相对平移，而斜率几乎相同，这表明虽然上下行信道互易度越小将导致系统吞吐量越小，但只带来阵列增益损失而没有复用增益损失。

图1吞吐量与信噪比的关系（M=4，N=2）Fig.1 Throughput vs.SNR（M=4，N=2）

图2 给出了信噪比P分别为10 dB和20 dB时信道互易度因子α为0.8和0.6两种情形下吞吐量总和的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）曲线。可以发现，同一α对应的准确值和下界较为接近，不同α对应的曲线在CDF处于区间［0.1，0.9］时基本平行，这进一步验证了由图1得到的结论。

图2吞吐量累积分布函数（M=4，N=2）Fig.2 CDF of the throughput（M=4，N=2）

图3 比较了α=0.8时终端信道估计无误和存在误差时的吞吐量。从中可看出：

（1）对每个数据流及其总和，终端信道估计误差均会导致一定的吞吐量损失，但损失随着信噪比增加而缓慢减小并趋于某一定值；

（2）在中高信噪比（P≥10 dB）区域，终端信道估计误差只会导致曲线相对平移，而斜率几乎相同，这表明相对理想信道估计而言，系统只有阵列增益损失，而没有复用增益损失；

（3）在中高信噪比（P≥10 dB）区域，对每个数据流，终端信道估计误差引起的吞吐量损失略小于1.5 bit／s·Hz-1，与第3.3节分析得到的吞吐量损失上界lb 3=1.585 bit／s·Hz-1相符，这表明尽管吞吐量损失上界是在P→∞时所得，但对中高信噪比区域几乎也同样适用。

图3 终端信道估计对吞吐量的影响（α=0.8，M=4，N=2）Fig.3 Impact of channel estimation at terminal on the throughput（α=0.8，M=4，N=2）

5 结论

本文分析了时分双工多天线系统中包含上下行链路信道非理想互易性和终端信道估计误差的非完美信道信息对双流波束赋形的影响，推导了基于MMSE线性接收准则的两个数据流的吞吐量及其下界，还证明了当下行链路信噪比趋于无穷大时，由终端信道估计误差导致的每一路数据流的吞吐量损失几乎不超过lb 3 bit／s·Hz-1。数值和仿真结果表明：所得下界与准确值较为接近；且与完美信道信息情形相比，非完美信道信息只会降低系统的阵列增益，而对系统的复用增益没有影响。

需要特别强调的是，当改变上下行链路信道互易度模型和终端信道估计误差模型时，本文所得某些结论将不再成立。下一步将研究非完美信道信息对系统误码率的影响以及两个数据流之间的最优功率分配。

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作者简介：

张雷（1979—），男，四川达州人，2009年获电子科技大学通信与信息系统专业博士学位，现为上海贝尔股份有限公司和复旦大学联合博士后工作站（流动站）在站博士后，主要研究方向为无线通信中单用户和多用户MIMO系统的预编码和检测技术；

ZHANG Leiwas born in Dazhou，Sichuan Province，in 1979. He received the Ph.D.degree from University of Electronic Science and Technology of China in 2009.He is now a post-doctor in the Joint Post-doctoral Work／Research Station in Alcatel-Lucent Shanghai Bell Co.，Ltd.and Fudan University.His research interests include precoding and detection techniques in single user and multiuser MIMO systems.

Email：lei.q.zhang＠alcatel-sbell.com.cn

蒋智宁（1976—），男，湖南邵东人，2000年获中国科学技术大学通信与信息系统专业硕士学位，现为上海贝尔股份有限公司无线产品部系统设计顾问工程师，主要研究方向为移动通信基站系统的算法设计与仿真；

JIANG Zhi-ning was born in Shaodong，Hunan Province，in 1976.He received the M.S.degree from University of Science and Technology of China in 2000.He currently works atWireless R＆D Department in Alcatel-Lucent ShanghaiBell Co.，Ltd.His research interest includes the algorithm design and simulation for wireless base station system.

胡波（1968—），男，江苏常州人，1996年获复旦大学理学博士学位，现为复旦大学电子工程系教授、博士生导师，主要从事数字信息处理、数字通信等方面的理论与算法研究；

HU Bo was born in Changzhou，Jiangsu Province，in 1968. He received the Ph.D.degree from Fudan University in 1996.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns the theory and algorithm in digital signal processing and digital communication.

李春亭（1972—），男，安徽合肥人，1999年获同济大学信号与信息处理专业博士学位，现为上海贝尔股份有限公司无线研发部门总监、高级工程师，主要研究方向为移动通信数字基站系统的设计与开发。

LIChun-ting was born in Hehui，Anhui Province，in 1972.He received the Ph.D.degree from Tongji University in 1996.He isnow a senior engineer and also the director of the Wireless R＆D Department in Alcatel-Lucent Shanghai Bell Co.，Ltd.His research concerns the design and developmentof digitalwireless ba se-station system.

《电讯技术》征稿的新要求

为了促进本刊的国际化进程，进一步扩大影响力，为广大科技人员搭建更高层次的学术研究和技术交流平台，现对来稿作如下几点新的要求：

（1）来稿中的图题、表题应给出对应的英文翻译；

（2）中文参考文献采用双语著录；

（3）属于基金项目的来稿应给出项目的英文翻译；

（4）提供作者简介的英文翻译，其中应包括作者的出生年、籍贯、何时获得学位、研究方向等内容，可参见IEEE系列刊物作者简介的翻译；

（5）欢迎作者将具有原创性的研究成果直接以全英文论文投稿，应注意语言流畅，专业术语准确，符合科技英语表达习惯，并附上中文标题、单位、摘要和关键词，以及中文作者简介；

（6）为了保证出版的及时性，作者不得在自校阶段对稿件作大幅修改，否则，将按新投稿件处理，编辑部保留追究由此造成的一切损失的权利。

更多信息请浏览本刊网站：www.teleonline.cn。

《电讯技术》编辑部

Throughput Analysis of Dual-stream Beam form ing in TDD System s w ith Im perfect Channel State Information

ZHANG Lei1，2，JIANG Zhi-ning1，HU Bo2，LIChun-ting1
（1.Alcatel-Lucent Shanghai Bell Co.，Ltd.，Shanghai201206，China；2.Department of Electronic Engineering，Fudan University，Shanghai200433，China）

In a Time Division Duplex（TDD）multiple antenna system，the channel reciprocity between uplink and downlink is imperfect due to the uplink channel estimation error and the transmission delay.Besides，the channel estimation error exists at the terminal.In this paper，the dual-stream beamforming technique is investigated with imperfect Channel State Information（CSI）as described above，and a throughput expression and its Lower Bound（LB）are derived.Analysis shows that the throughput loss of each stream due to the channel estimation error at the terminalwill be almost notmore than lb 3 bit／s·Hz-1if the downlink Signal-to-Noise Ratio（SNR）is infinite.The numerical and simulation results demonstrate that the derived throughput LB is close to its theoretic value.The imperfect CSIonly degrades the array gain while not impacting themultiplexing gain.

multiple-inputmultiple-output（MIMO）；time division duplex（TDD）；dual-stream beamforming；imperfect channel state information；throughput analysis

TN929.5

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.07.002

1001-893X（2011）07-0007-07

2011-04-15；

2011-05-24

国家科技重大专项资助项目（2010ZX03002-003）

Foundation Iterm：The National S＆TMajor Project（2010ZX03002-003）