孙超,杜玉琴

(1.中国传媒大学 理学院,北京 100024;2.中国青年政治学院经济系,北京 100089)

基于特征值方法的鲁棒稳定性条件

孙超1,杜玉琴2

(1.中国传媒大学 理学院,北京 100024;2.中国青年政治学院经济系,北京 100089)

分别针对具有非结构不确定性、强结构不确定性、矩阵多胞形结构不确定性线性离散系统,利用特征值方法进行讨论,给出了相应系统的鲁棒稳定性判别条件,并通过算例进行了验证。

特征值方法;鲁棒稳定性

1 引言

随着计算机技术的广泛普及及应用,离散控制理论越来越受到重视。本文主要研究带有参数不确定性的线性离散系统的鲁棒稳定性问题,给出了相应系统的鲁棒稳定性判别条件,并通过算例进行了验证.

2 主要结果

考虑离散不确定系统

其中,x(k)∈Rn为状态向量,A∈Rn×n为已知的系统矩阵,△A(x)∈Rn×n为不确定矩阵,表示系统中的不确定参数,k=0,1,2,…为离散时间变量。

当△A(k)=0时,系统(1)成为:

称(2)为系统(1)的名义系统。

名义系统(2)是渐近稳定的充分必要条件是 ρ(A)＜1[1]。

从而不确定系统(1)是鲁棒稳定的充分必要条件是,对所有允许的不确定矩阵△A(k),有

为书写简单,以下简记△A=△A(k)。由于△A(k)未知,条件(3)是难于判断的,所以下面将利用矩阵谱半径和奇异值等性质,给出在一定的不确定性假设下的鲁棒稳定性条件。

定理1 设系统(1)中不确定矩阵△A满足非结构不确定性[2],如果

则系统(1)是鲁棒稳定的。

定理2 设系统(1)中不确定矩阵△A满足强结构不确定性[3],如果下述条件之一成立,则系统(1)是鲁棒稳定的。

定理3 设系统(1)中不确定矩阵△A满足矩阵多胞形结构不确定性[4],如果下述条件之一成立,则系统(1)是鲁棒稳定的。

证明 (i)由于

(3)当为矩阵多胞形结构不确定矩阵时,设

的不确定矩阵△A都是渐近稳定的。

而由条件(8)算得 r＜0.1974,这说明条件(8)比条件(9)的保守性更大。

[1]段广仁.线性系统理论[M].哈尔滨工业大学出版社,1998:144-165.

[2]Patel R V,Toda M.Quantitative Measures of Robustness for Multivariable Systems[C].In proc.Joint Automat Contr Conf,San Francisco,CA,1980,paper TP8-A.

[3]Yedavalli R K.Improved Measures of Stability Robustness for Linear State Space Models[J].IEEE Trans Automat Control,1985,30(3):577-579.

[4]Zhou K,Khargonekar P P.Stability Robustness Bounds for Linear State Space Models with Structured Uncertainty[J].IEEE Trans Automat Control,1987,32(7):621-623.

Robust Stability Analysis with the Characteristic Value Method

SUN Chao1,DU Yu-qin2

(1.School of Science,Communication University of China,Beijing 100024,China;2.Department of Economics,China Youth University for Political Sciences,Beijing 100089,China)

The problem of robust stability for the uncertain linear discrete-time systems is studied where the uncertain matrixes are unstructured,highly structured,matrix polytope structured.The relevant conditions that the systems is robust stability are obtained using the characteristic value method.Then we give some examples to prove.

characteristic value method;robust stability

TP271

A

1673-4793(2011)03-0045-03

2011-02-23

孙超(1978-),女(满族),黑龙江五常人,中国传媒大学讲师.E-mail:sunchao@cuc.edu.cn

(责任编辑

:王谦)