卜长江，刘广峰，白淑艳

(哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨150001)

矩阵的Drazin逆表示不仅在矩阵代数中有重要意义，而且在奇异差分方程、广义系统、马尔科夫链和迭代法等领域中都有十分重要的应用［1-5］.尤其在奇异线性微分方程的解表示中［6］，矩阵的Drazin逆理论更是不可或缺的工具.1979年，以二阶奇异系统为背景，Campbell等［1］提出一个2×2分块矩阵Drazin逆表达式的open问题.1983年，Campbell［2］再次提出类似的open问题，引起学者们极大的关注，但这些问题至今未能完全解决.近年来一些学者在分块矩阵的子块满足一定条件下给出其Drazin逆表达式［7-14］.在分块矩阵的广义Schur补为零或者可逆的条件下给出其Drazin逆表达式的问题是近几年的热点问题［7-10］.本文在分块矩阵的广义Schur补为零且子块满足相应条件下给出了其Drazin表达式，推广了 Hartwing［9］及 Martinez-Serrano［10］给出的若干结果.

1 引理

为了得到本文的主要结果首先给出如下引理.引理 1［10］设 P，Q∈Cn×n，若 P2Q=O，Q2=O且PQ是k次幂零矩阵，则

其中:k=ind(PQ)，t=ind(P2).

引理 2［10］P，Q∈Cn×n，若 P2Q=O，Q2=O，QPQ=O且(PQ)2=O，则(P+Q)D=PD+Q(PD)2+PQ(PD)3.

2 主要结果

该文主要是得到下面形式的2×2分块矩阵Drazin逆表达式

式中:A和D是方阵，设M的广义Schur补S=DCADB等于零.

证明:由于M=PNP-1，令N=P1+P2，

所以，由引理1得

因为MD=PNDP-1，

下面给出定理1的推论，此推论恰好是文献［10］的结果.

推论 设分块矩阵M如同式(1).若BCAπ是r次幂零矩阵，ABCAπ=O，则

其中:

文献［9］在 CAπB=O，AAπB=O 条件下给出分块矩阵M的Drazin逆表达式.本文的定理2在CAπBC=O且AAπBC=O的条件下给出M 的的Drazin逆表达式.显然，CAπBC=O和AAπBC=O是CAπB=O和AAπB=O成立的必要条件.

定理2 设分块矩阵M的形式如同式(1).若CAπBC=O，AAπBC=O，则

其中:B11、B12、Z 如定理中所示.

通过与定理1和定理2类似的证明方法分别给出定……