孙 丹，罗松南

(湖南大学 力学与航空航天学院，长沙 410082)

功能梯度材料(FGM)是一种近期发展的新型材料，它一般由两种性质不同的材料介质沿空间按不同组分复合而成，形成材料性质和功能沿厚度呈梯度变化，从而满足材料构件不同部位对材料不同性质的要求。同时，由于功能梯度材料组成和结构在空间上呈连续变化，不存在明显的界面和性能突变，因此具有明显优于一般复合材料的特性［1－3］。它的出现对于推动材料科学的发展具有重大的意义。

梯度功能材料中波的传播性质的研究已备受国内外学者的关注，张立刚等［4－5］研究了梯度功能材料中SH波的传播问题，利用WKBJ理论求出了梯度功能材料位移的近似解，还对均匀覆层梯度功能半空间中的Love波频散问题进行了研究;刘睫［6］和王子昆［7］研究了梯度材料层状结构中的Love波和梯度介质半空间Rayleigh面波的传播性能;Li［8］利用弹性波理论和WKB方法研究了压电功能梯度层中Love波传播的问题;Han［9］应用分层理论研究了SH波在功能梯度板中传播的问题，分析了功能梯度材料对SH波传播的影响;Arkadi Berezovski［10］讨论了二维应力波在功能梯度层中的传播;Chen［11］研究了功能梯度板中弯曲波的弥散问题;Chakraborty［12］应用有限元对功能梯度梁中波的传播问题进行了研究。

本文研究了波在四边固支各向同性功能梯度板中传播的问题。考虑剪切变形和转动惯性的影响，采用一阶剪切变形板理论和小应变的应变－位移关系，利用Hamilton原理建立了动力学基本方程式，应用伽辽金法消除偏微方程式的空间变量，由运动控制方程推得频散方程。分别给出了频率﹑相速度和群速度随波数变化的曲线，分析了材料的功能梯度指数对频率﹑相速度和群速度的影响规律。

1 动力学基本方程式

考虑弹性波在如图1所示的各向同性功能梯度板中传播。计及剪切变形和转动惯性的影响，采用一阶剪切变形板理论和小应变的应变－位移关系。

图1 功能梯度板模型Fig.1 The model of the FGM plate

根据一阶剪切变形板理论，位移场分量假设为:

式中u0，v0，w0是板的中面位移，φx和 φy分别为中面法线在x方向与y方向的转角。

依据小应变的应变－位移关系，应变分量为:

材料的应力－应变关系可表示为:

其中:

k2是剪切修正因子。

功能梯度板的内力与应力关系为:

其中 Nx，Ny，Nxy是膜力，Qx，Qy是横向剪力，Mx，My，Mxy是弯矩和扭矩。

将式(3)代入式(4)中，并应用式(2)，得功能梯度板的本构关系:

以及

式中

这里Aij，Bij和Dij分别是功能梯度板的薄膜刚度﹑耦合刚度和弯曲刚度。

在忽略体力和不存在面力的情况下，利用Hamilton原理可推得运动控制方程

其中:

应用本构关系(5)，运动控制方程(10)可进一步推得为:

四边固支板的边界条件为:

2 频散方程

当弹性波在功能梯度板中传播时，为寻求方程组式(11)满足边界条件的解，取位移形函数为:

其中，umn，vmn，wmn，分别 为波幅系数，sin(λmx)，sin(μny)，sin(2λmx)，sin(2μny)，cos(2λmx)和，分别为梁的振形函数，和μ=n，κ和κ分别为波数 κ在x轴向和y轴向的分量，12ω为谐波频率。

把位移型函数(12)式代入运动控制方程组(11)，对结果方程组的第一﹑二式分别乘以 sin(λrx)·sin(μjy)，第三式乘以(1 － cos(2λrx))(1 － cos(2μiy))，第四式乘以 sin(2λrx)(1 －cos(2μiy)，第五式乘以(1－cos(2λrx))sin(2μjy)，然后分别对坐标x从0到α积分和对坐标y从0到b积分，且利用梁振形函数的正交性条件，可将运动控制方程组(11)表示为:

令板所受外荷载为零，且取m=n=1，可得:

其中:

K为5×5矩阵，其元素均为与波数相关已知常数。

要使U有非零解，则必有:

式(15)就为频散方程。

κ1和 κ2可用波数 κ 表示为:κ1=κcosφ，κ2=κsinφ，，考虑到材料在x，y方向具有同性性质，设。相速度，群速度从频散方程(15)可求得五对解，它们分别对应五种模态，这五种模态分别为 T0，T1，T2，T3和 T4，其中 T0，T3和T4对应于弯曲波，T1和T2对应于膨胀波。

3 数值计算和分析

功能梯度板中功能梯度材料的参数可表示为:

其中，N(N＞0)为功能梯度指数，N=0时为均质材料;Et，Eb，ρt，ρb为板的顶部和底部的弹性模量和质量密度。

取 a=0.2 m，b=0.2 m，h=0.02 m;弹性模量Et=151 GPa，Eb=70 GPa，密度 ρt=3000kg/m，ρb=2707kg/m;泊松比 νt=0.3，νb=0.3 的梯度功能板进行计算和分析。

图2和图3给出了均质板(N=0)和不同功能梯度指数(N=1，2)的功能梯度板的频散曲线。从图2中可以看到在波数κ相同时，波在均质板(N=0)中传播的频率明显的大于波在N=1的功能梯度板中传播的频率;在图3中也可以看到，在波数 κ相同时，波在N=1的功能梯度板中传播的频率也大于波在N=2的功能梯度板中传播的频率。可见，当波数κ相同时随着功能梯度指数N的增加，波在板中传播的频率随着减小，而波在均质板(N=0)中传播的频率最大。

图2 N=0和N=1时的频散曲线Fig.2 The dispersion curves of FGM plate when N=0 and N=1

图3 N=1和N=2时的频散曲线Fig.3 The dispersion curves of FGM plate when N=1 and N=2

相速度C随波数κ变化的曲线如图4和图5所示。从中同样可以看到，当波数κ相同时，波在均质板(N=0)中传播的相速度相对最大，波在N=1的功能梯度板中传播的相速度次之，波在N=2的功能梯度板中传播的相速度相对最小。

由上可知，当波数κ相同时随着功能梯度指数N的增加，波在板中传播的相速度随着减小，而波在均质板(N=0)中传播的相速度最大。

图4 N=0和N=1时的相速度C随波数κ变化曲线Fig.4 The phase velocity curves of FGM plate when N=0 and N=1

图5 N=1和N=2时的相速度C随波数κ变化曲线Fig.5 The phase velocity curves of FGM plate when N=1 and N=2

群速度Cg随波数κ变化的曲线如图6和图7所示，从图中可以看到当波数κ相同时，波在均质板(N=0)中传播的群速度最大，在N=1的功能梯度板中传播的群速度次之，在N=2的功能梯度板中传播的群速度最小。由此可见，当波数κ相同时，同样的随着功能梯度指数N的增加，波在板中传播的群速度也随着减小，而波在均质板(N=0)中传播的群速度最大，功能梯度材料的非均匀性对波的传播具有阻碍作用。

图6 N=0和N=1时的群速度Cg随波数κ变化曲线Fig.6 The group velocity curves of FGM plate when N=0 and N=1

图7 N=1和N=2时的群速度Cg随波数κ变化曲线Fig.7 The group velocity curves of FGM plate when N=1 and N=2

4 结论

本文考虑剪切变形和转动惯性的影响，采用一阶剪切变形板理论，利用Hamilton原理推得运动控制方程，并应用伽辽金法消除空间变量，利用特征方程式得到了频散方程。分别给出了频率﹑相速度和群速度随波数变化的曲线。分析了随着材料性质指数(功能梯度指数)的变化，材料性质对波传播的影响规律:当波数相同时，随着功能梯度指数的增大，波在梯度板中传播的频率﹑相速度和群速度都随着减小，且波在均质板中(N=0)传播的频率﹑相速度和群速度最大。可见，功能梯度材料的非均匀性对波的传播具有阻碍作用，且随着功能梯度指数的增大阻碍性越强。这些结论都为制备和使用功能梯度材料提供了理论依据。

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