宁景锋，贺西平，李 娜

(陕西师范大学 应用声学研究所，西安 710062)

纵振换能器和弯曲振动圆板组成的模式转换型换能器，结合了纵向换能器的高效大功率和弯曲辐射板的低辐射阻抗、指向性好及大辐射面积等特点，在大功率空气超声领域获得广泛应用［1］。辐射面积较大的弯曲振动圆盘，换能器的辐射面的振动分布很复杂，存在弯曲的反相区，导致了换能器的辐射阻抗、电声效率和声功率降低及指向性变差等问题［2－4］。在大功率超声应用中，超声波换能器主要用于负载变动剧烈的场合，换能器以及与之配合使用的变幅杆、工具头的参数也会因为发热、老化、磨损、疲劳等原因而发生变化，这些都会使得换能器系统的谐振频率改变，造成换能器系统工作在失谐状态而使效率降低，甚至损坏仪器，如超声波清洗、超声车削、焊接等应用中［5－7］。在超声波检测应用中，当换能器系统工作在失谐状态，这将影响换能器辐射面的声场指向性，给测量造成不必要的误差，如利用超声波测算原木年轮、测距、识别与成像及料位检控等应用中［8－9］。

以前的文献都理想地认为，当纵向夹心式换能器激励薄圆盘的中心且二者的频率相等时，此时圆盘弯曲振动的基频等于圆盘的本征频率，且往往将圆盘中心处的激励源看做点激励。实际应用中激励源是有一定面积的，且由于这样或那样的原因很难做到两者的共振频率相等。两者的设计频率一旦有偏差，圆盘的振动及声辐射场就会发生相应变化，而这种情况很难用解析法来计算分析其中的变化规律。本文采用有限元计算方法，计算了激励面积不变的夹心式纵向振动换能器的频率变化对圆盘中心激励产生弯曲振动特性的影响，得出了圆盘的基频、节线半径和位移图变化规律。

1 计算模型

1.1 纵弯振系统

图1 结构模型Fig.1 Structural model

系统模型如图1所示，纵振换能器通过阶梯变幅杆与圆盘中心相联结。本文通过变换激励源的频率，即用不同频率的纵振换能器在圆盘中心作为激励源，计算圆盘基频弯曲振动特性的相应变化规律。

1.2 弯曲振动圆盘的设计

弯曲振动圆盘的厚度为h，半径为a(h≪a)，假定圆盘的横向位移很小，忽略其旋转惯性及剪切变形，对于薄板的小振幅弯曲振动下轴对称弯曲位移y(ρ，t):

根据自由边界圆盘弯曲振动频率方程:

当泊松比σ已知时，可求得频率方程的根，即一系列的kna值，n为正整数，对应不同的节圆数和圆盘弯曲振动模式。圆盘振动的共振频率为［10］:

2 计算

由上式(3)，设计圆盘的频率为f1=20084Hz，半径a=0.0237 m，厚度 h=0.0050 m。选择圆盘的材料为45号钢，其密度 ρv=7800kg/m3，泊松比 σ=0.28，杨氏模量 E=2.16 ×1011N/m2，处于自由边界条件，其与激励源的接触可看成是点激励。利用数值方法求解自由边界条件下圆盘的频率方程，得到一系列根值kna，当n=1时可解算得圆盘产生一阶弯曲振动时的节圆半径为 ρ0=0.01612 m［10］。

在ANSYS有限元软件中构建三维模型如图1所示，圆盘采用3－D型10节点solid187的单元类型，网格划分分析类型为模态分析，在不施加约束并忽略结构阻尼情况下，求解即获得圆盘的基频值，此时在操作路径中读入起始坐标和终止坐标(本文的起终点坐标为沿X轴方向圆盘直径两端点的坐标)，由Plot Path Item选项即可画出归一化横向位移路径图。当圆盘的归一化横向位移幅值为零时，可求得其节圆半径［11］。计算结果表明，在上述条件下，不同的激励源频率会产生对应不同阶数的弯曲振动模式，在诸多的弯振模式中存在一个与圆盘频率相近的基频模式。

2.1 纵弯共振

当激励源的半径为r，频率为f1时使得圆盘产生一阶弯曲振动模式，即两者频率相同时，根据有限元方法计算得到圆盘的基频为f=20005Hz，节圆半径ρ=0.01615 m，沿直径方向的横向位移分布图如图2所示。数值计算发现，圆盘的基频比其本征频率小0.4%左右;此时圆盘的节圆半径比其本身节圆半径ρ0大0.2%左右。若调整激励源的频率，使得圆盘在其本征频率上产生一阶弯曲振动，数值计算得到，此时激励源的频率为f=20204Hz，比传统认为的激励频率大0.6%左右;圆盘的节圆半径 ρ=0.01619 m，比起本身节圆半径ρ0大0.4%。

图2 圆盘的振型图和位移分布曲线图Fig.2 Vibration mode and displacement distribution diagram of circular plate

2.2 不同激励频率下圆盘特性变化规律

当激励源的频率在20084Hz附近变化时激励圆盘产生弯曲振动，圆盘的基频、节圆半径会随着激励频率的变化而变化，即每个频率的激励源都会使整个振动系统产生一种形式的共振。如图3所示为圆盘的基频、节圆半径随激励源频率的变化规律特性图。从图3(a)可以看出:随着激励源频率的提高，圆盘弯振的基频随之增大，基本上呈现线性关系;在此过程中，节线不会消失;当出现二阶弯曲振动时，激励源的频率在96000Hz左右。图3(b)可以看出:随着激励源频率的提高，圆盘节圆半径在增大;当激励源频率在低频段(即40000Hz以下)，圆盘节圆半径的变化率比较大;当激励源频率在40000Hz以上激励，圆盘节圆半径的变化率比较小，随之平缓直到二阶弯曲振动的出现。

图3 不同激励频率下圆盘的基频和节圆半径变化图Fig.3 Fundamental frequency and pitch circle radius variation of circular plate with different driving frequency

图4 不同激励频率下圆盘横向位移变化Fig.4 Variation of lateral displacement about circular plate with different driving frequency

当激励频率不同时，圆盘产生一阶弯曲振动的位移分布规律如图4所示，可以看出:当激励频率在20084Hz附近变化时，圆盘的节圆半径不会消失;随着激励频率的逐渐提高，圆盘圆心处的位移振幅先增大后减小，当位移振幅减小至零时，圆盘处于一阶和二阶弯曲振动的临界状态。

3 实验

加工了一个基频为20000Hz的薄圆盘和四个面积相同但频率不同的夹心式纵振换能器，其频率分别为 15070Hz、20084Hz、30670Hz和75400Hz。图中FP是待测薄圆盘，ET和RT分别是发射和接收换能器。采用如图5所示装置，测量时，用低频信号发生器驱动发射换能器，频率计用来检测激励频率，通过激光测振仪发射的信号，示波器测得圆盘产生一阶弯曲振动时的节线位置和频率。由表1可知，实验测试结果和数值计算得到的规律基本相吻合。

图5 实验装置框图Fig.5 Diagram of experimental setup

表1 数值计算和实验结果的比较Tab.1 Comparison of numerical and experimental results

4 结论

在激励面积和圆盘几何参数不变条件下，研究了不同频率的夹心式换能器激励同一圆盘中心，产生一阶弯曲振动模式的特性变化规律，得出如下结论:

(1)纵振换能器的共振频率和圆盘的共振频率相等时，数值计算得到圆盘的弯振基频比圆盘的本征频率小0.4%左右，节圆半径比其本身节圆半径大0.2%左右;

(2)随着激励频率逐渐提高，圆盘的基频也随之不断增大，两者基本上呈现线性关系;节圆半径相应地在增大，在一开始变化率是比较大的，增到一定值时逐渐平缓;

(3)随着激励频率逐渐提高，圆盘圆心处的位移振幅先增大后减小。

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