张海燕, 张卫国, 李韶伟, 杨 刘

(上海理工大学理学院,上海 200093)

1 问题的提出

广义对称正则长波方程为

当b2=1/2,b3=0时,方程(1)成为对称正则长波方程

方程(2)是用于描述弱非线性作用下等离子声波传播的数学模型[1],它也出现在其他的许多非线性数学物理问题中[2].文献[1-2]给出了方程(2)的孤波解、守恒律和孤波解间的相互作用.关于方程(2)整体解和数值解方面的研究结果可参见文献[3 -5].文献[6]求出了方程(1)及一类更广义的对称正则长波方程的精确孤波解.文献[7]讨论了广义对称正则长波方程

孤波解的轨道稳定性和不稳定性.文中假设 f∈C1,当s＞0时,f(s)＞0,且当s→0时,｜f(s)｜= o(｜s｜p),｜f′(s)｜=o(｜s｜p-1),p＞1,而且其假设1中要求所考虑的孤波解(φc,ψc)T中的 φc＞0.(◦,◦)T表示转置运算,以下相同.

本文研究广义对称正则长波方程(1)孤波解的轨道稳定性.若将所研究的方程(1)化为方程(3)的形式,则f(u)=b2u2+b3u3,这里f(u)的表达式中有两个非线性项,且b2,b3不取定符号,故所研问题没有被包含于文献[7]中.而且由定理1可知,方程(1)实际上有两个钟状孤波解(φi,ψi)T,i=1, 2,其中,φ1(ξ)＞0,φ2(ξ)＜0,本文也将讨论(φ2, ψ2)T的轨道稳定性.故本文所研问题是新的且有意义的.

2 方程(1)的钟状孤波解及柯西问题解的局部存在性

根据文献[6],方程(1)的孤波解

满足

其中,u′(ξ),u″(ξ)→0,｜ξ｜→∞,且孤波解的精确表达式由定理1给出.

定理1 设c2-1＞0.

a.若b3c＞0或b3=0且b2c＞0,则广义对称正则长波方程(1)有一个钟状孤波解

b.若b3c＞0或b3=0且b2c＜0,则广义对称正则长波方程(1)还有一个钟状孤波解

现利用半群理论研究方程(1)柯西问题解的局部存在性.首先给出两个引理[8-9].

引理1 一个线性无界算子 A是C0半群{T(t):t≥0}的无穷小生成元的充分必要条件是A为稠定的闭算子,且存在实数M与ω,使当λ＞ω时,有

其中,ρ(A)为预解集,R(λ;A)n为预解式.

引理2 对非线性方程的柯西问题

a.A是空间X上的某个C0半群T(t)的无穷小生成元;

b.f∈C(R+×X,X)满足Lipschiz条件:对∀T＞0,存在K=K(t),使‖f(t,u)-f(t,v)‖≤K(t)‖u-v‖,∀u,v∈X,t∈[0, T],则初值问题(6)在R+上存在唯一解

根据引理1与引理2可以推出关于方程(1)柯西问题解的局部存在性的引理3.

证明 首先可将方程(1)化为

其中

现证明A是空间X上的某个(C0)半群的无穷小生成元,且D(A)=H1×L2.

据引理1可知,只要证明存在实数 ω,使得当λ＞ω且λ∈ρ(A)时,有

由式(10)可知

根据式(11)可知

综上,据引理1和引理2即知引理3成立.

3 孤波解轨道稳定的一般性结论

首先将方程(1)化为Hamilton系统

其中

设在空间X=H1(R)×L2(R)上有内积

X的对偶空间为X*=H-1(R)×H-1(R).X与X*间存在自然同构I:X→X*,定义为其中,〈◦,◦〉表示X与X*之间的配对

设T是X上具有单参数的酉算子群,定义为

显然

易知

方程(1)的孤波解式(4b)、式(5)可表为

式中,φ1(x),φ2(x)分别由式(4b)、式(5b)给出.现考虑孤立波解T(ct)(x)的轨道稳定性.为不重复,取定(x)为(x)和(x)之一.验证T(ct)(x)满足Grillakis-Shatah-Strauss提出的轨道稳定性理论[10-11]的条件.

首先,由引理3可知,方程(1)的初值问题存在唯一解,且易证由式(14)、式(18)定义的E()、Q()分别满足

其次,可证引理4.

对式(19)两边积分,得

式中,a1,a2为积分常数.

由于 φc、ψc、φcξ ξ→0,当｜ξ｜→∞时,故有a1= 0,a2=0,从而有

现考虑算子Hc,并进行谱分析.

算子Hc:X→X*定义为,这里

故有

由式(19)可得

整理得

令

根据文献[10-11]可得引理5.

引理5 对满足〈y,χ〉=〈y,φcx〉=0的任意实函数y∈H1(R),存在δ＞0,使得

令

有

令

有

令

则

综上所述,当c＞1时,可对Hc谱分解为

因此,空间X可分解为直和X=N+Z+P,其中,Z为Hc的核空间,N为一个有限维空间,P为一个闭子空间.

于是,由引理3～5,以及对 Hc的谱分析,可得关于广义对称正则长波方程(1)孤波解轨道稳定的一般性结论.

4 孤波解轨道稳定性的充分条件

4.1 关于轨道稳定的判别式

首先将式(23)化为显式且化简.据定理1中式(4)和式(5)可知,将它代入式(23),再作代换则有

由于-2＜Bi＜0,解出中的积分,并代入原式,可得

当Bi=B1时

当Bi=B2时

化简,得

其中

进一步,设

则式(25)可等价表示为

式(26)可等价表示为

4.2 关于M1与M2的讨论

令g(x)=x(π-2arctan x),有

g(x)在x0处取极大值,这里x0满足g′(x0)=0,有

b.对于M2.当b2＞0时,有 x∈(0,+∞), M2∈(0,+∞).当b2＜0,则

与考察M1时同理,可证M2∈(-2,0).

4.3 2c-k2＞0时孤波解轨道稳定的充分条件

基于d″i(c)的显式表达式(30)、式(31)和关于其中M1、M2的讨论,现给出较为容易判别孤波解和轨道稳定的充分性条件.

当b2＞0时,为得到c满足何种条件时d″1(c)＞0,只需考虑在式(30)中取M1=2时, d″1(c)＞0的条件.现在式(30)中取M1=2,通分并注意此时分母恒正,可知当c的取值满足

当b2＜0时,式(30)中-3M1(2c-k2)＞0.为使d″1(c)＞0,即孤波解轨道稳定,只需取c满足

当b2＞0时,因此时有M2∈(0,+∞),为使d″2 (c)＞0,只需取c满足式(33).

当b2＜0时,因此时有M2∈(-2,0),为使d″2(c)＞0,只需考虑在式(31)中取M2=-2时d″2(c)＞0的条件,易知只需取c满足不等式(32).

综上可得定理3.

a.若b2＞0,且波速c使不等式(32)成立,或当b2＜0时,波速c使不等式(33)成立,则孤波解轨道稳定.

b.若b2＞0,且波速c使不等式(33)成立,或当b2＜0时,波速c使不等式(32)成立,则孤波解轨道稳定.

4.4 2c-k2＜0时孤波解轨道稳定的充分条件

当b2＞0时,因此时式(30)中-3M1(2c-k2)＞0,为使d″1(c)＞0,只需考虑取M1=0时d″1(c)＞0的条件.易知当c满足式(32)时,d″1(c)＞0,从而孤波解轨道稳定.

当b2＜0时,因此时式(31)中3M2(2c-k2)＞0,为保证d″2(c)＞0,只需考虑取M2=0时 d″2(c)＞0的条件.易知此时只需取c满足式(33), d″2(c)＞0即成立,从而孤波解轨道稳定.

综上可得定理4.

5 结束语

研究了具两个非线性项的广义对称正则长波方程(1)孤波解的轨道稳定性.应用文献[10-11]中提出的轨道稳定性理论,经过方程解的局部存在性证明、有界态存在的证明以及算子Hc的谱分析与计算,给出了判别方程(1)孤波解轨道稳定的一般性定理.利用所求方程(1)的两个精确孤波解(φi,ψi)T, i=1,2,给出了判断它们轨道稳定的判别式d″i(c)的显式表达式.进一步利用分析方法导出了较为容易判别这两个孤波解(φi,ψi)T轨道稳定的充分条件——定理3和定理4.

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