周辉，李建龙

(1.浙江大学信息与电子工程系，浙江杭州310027;2.浙江省综合信息网技术重点实验室，浙江杭州310027)

0 引言

现代信号处理系统旨在降低背景噪声对感兴趣信号的影响。然而，在一定的条件下，增加噪声反而会提高系统的性能，这种现象被称为随机共振［1］。随机共振现象已经成为非线性系统中一个感兴趣的研究领域［2，3］。误差反馈在动态系统中起着很重要的作用。由误差反馈形成的系统，控制精度高，系统运行稳定。然而，在现有的有关随机共振的研究工作中，尚未发现由非周期信号驱动的，带有误差反馈机制的随机共振现象的报道。本文研究了由非周期信号驱动的，带有误差反馈机制的双稳态非线性滤波器的现象。通过误差反馈双稳态非线性系统方程导出了相应的误差反馈Fokker-Planck方程。采用误比特率来衡量误差反馈对随机共振双稳态非线性系统在二进制随机信号下的输出性能。通过不同的反馈强度来研究误差反馈对随机共振系统误比特率的影响。

1 误差反馈双稳态系统和性能衡量

考虑用如下的方程来描述由非周期信号驱动的，带有误差反馈机制的双稳态非线性系统:

式中，系统参数a，b均大于0，误差反馈项由c(x(t)－s(t))表示，其中c是误差反馈强度，s(t)是非周期信号，γ(t)是零均值加性高斯白噪声。

设输入信号s(t)是基带二进制脉冲幅度调制信号，正负电平分别用s0(t)=－A和s1(t)=+A表示，在每个脉冲持续时间Tb内，随机发送s0(t)=－A或s1(t)=+A。其中A表示信号幅度。

整理式1得到:

其相对应的势函数为:)

从式3可以看出，反馈强度c(0＜c＜1)影响着非线性系统的参数和信号的有效幅度，c的增加对信号有着很大的影响，它降低了信号的有效幅度，其效果等同于增加了噪声强度。因此反馈强度会对系统的性能产生一定的影响。

式2是带有误差反馈机制的双稳态系统;它可以由动态概率密度函数ρ(x，t|±A)来近似描述，其Fokker-Planck方程［4］如下:

动态概率密度函数ρ(x，t|±A)可由Fokker-Planck方程求得［5］。

为了衡量系统的性能，用误比特率来量化系统1的输出。假定信号电平s0(t)=－A和s1(t)=+A统计独立并且是等概率的发送(i.e P=P=)，误比特率可以表示成:01

式中，P(A|－A)表示发送是－A但判决是A的错误概率，同样的，P(－A|A)表示发送是A但判决是－A的错误概率。根据最大似然判决准则［6］，二进制双极性信号的最佳判决门限为0。假设当前符号的幅度为+A，如果连续的符号幅度为+A的个数是K(K=0，1，…)个，第(K+1)个符号的幅度变为－A，则第i个检测错误的概率为:

由于动态PDF的对称性，Pi(A|－A)=Pi(－A|A)，式6可以表示为:

2 反馈强度对随机共振非线性系统输出的影响

通过理论计算及仿真分析讨论在误差反馈随机共振系统中反馈强度c对系统误比特率的影响。设a=10，b=100，A=1，Tb=1。在不同反馈强度c下，误比特率与噪声强度D的关系如图1所示，图1中用曲线描绘的表示理论值，分别用实线，点划线，虚线和点线表示c=0.1，c=0.3，c=0.5，c=0.7的情况，可以清楚的看到，随着c的增加，即反馈强度的增强，随机共振的效果变的越来越不明显，其对应的误比特率也越来越大，从式3中可以容易得发现，信号s(t)的作用随着c的增强而不断的减弱。进一步对比各个不同的c的下误比特率的谷值，可以看出随着c的增加，其达到随机共振时噪声强度变大，在c=0.1，c=0.3，c=0.5，c=0.7的情况下，其对应的噪声强度D分别为0.15，0.175，0.2，0.225。

图1 不同反馈强度c(c＞0)下，误比特率与噪声强度D的关系

上述现象可由如图2所示的势函数得到解释。由于随机共振现象是由信号跟噪声共同驱动的，当c较小时，从左势阱到达右势阱只需要较小的扰动，即达到随机共振时噪声强度的较小，而随着c的增大，左势阱不断的加深，其所需的噪声能量变大，因此达到共振时噪声强度较大。

为了验证理论计算的正确性，本文同时给出了利用Matlab软件进行数值仿真的结果。在仿真中，所有的参数值均与理论计算中的相同。图1中的数值计算结果分别用方形，圆形，三角形和×形表示c=0.1，c=0.3，c=0.5，c=0.7情况。从图1中可以看出，在高噪声强度下，数值计算与理论值两者的吻合度较高，在低噪声强度下，c越小，其数值计算更贴近理论值，随着c的增加，数值计算偏离理论值，这是因为在低噪声强度下，系统的响应速度较小，近似计算误比特率时误差较大所致。

图2 势函数Ux

3 结束语

本文讨论了随机共振非线性系统中反馈强度c对系统输出误比特率的影响。对于误差反馈双稳态非线性系统，反馈强度c的增加，降低了信号的有效幅度，达到共振时其相应的误比特率变大。同时，随着c的增加，势函数的势阱不断的加深，因而达到共振时的噪声强度不断变大。总之，随着c的增加，系统的性能变差，但达到共振时的噪声强度同时增加，从随机共振现象可实现性来讲，其更有利于使非线性系统实现共振，通过调节噪声达到给定系统参数下的最佳系统性能。

［1］Gammaitoni L，Hanggi P，Jung P，etal.Stochastic resonance［J］.Reviews of Modern Physics，1998，70(1):223－287.

［2］Chen H，Varshney P K，Kay S M，etal.Theory of the Stochastic Resonance Effect in Signal Detection:Part I—Fixed Detectors［J］.IEEE Transaction on Signal Processing，2007，55(7):3 172－3 184.

［3］Duan F，Chapeau-Blondeau F，Abbott D.Stochastic resonance in a parallel array of nonlinear dynamical elements［J］.Physics Letters A，2008，(13):2 159－2 166.

［4］Risken H.The Fokker-Planck Equation:Methods of Solution and Applications［M］.Berlin:Springer-Verlag，1989:4－8.

［5］Li Jianlong，Pan Xiang.A nonlinear monostable filter for bipolar pulse signal detection［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(3):1 223－1 232.

［6］樊昌信，曹丽娜.通信原理［M］.北京:国防工业出版社，2007:153－155.