罗家浩，赖晓平，侯秀竹，杨吉祥

(杭州电子科技大学信息与控制研究所，浙江杭州310018)

0 引言

数字滤波器的设计问题是数字信号处理中的基本问题，IIR滤波器设计中通常采用首一多项式表示滤波器传递函数的分母，针对这一分母多项式现存多种充分的稳定性约束条件［1－3］。其中，正实性条件［1］、广义正实性条件［2］、Rouche’s定理［3］等均为凸的，且已经被应用到多种设计方法中。然而，这些条件只是保证滤波器稳定的充分条件而非必要条件，因此那些具有更好性能的稳定滤波器可能被排除在由上述条件确定的稳定域之外。另外一种表示滤波器传递函数分母的方法是将其由一连串二阶因子级联而成，对于每个二阶因子均要求其零点位于单位圆内，即使该因子的两个多项式系数位于稳定三角形［4，5］内。然而，采用这种级联二阶因子对分母参数化的方法也存在一些缺点，当传递函数的分母不止含有一个二阶因子时，频率响应函数关于二阶因子的多项式系数是非线性的。为了克服这个困难，文献7中引入一种序列最小化方法(solves a Sequential of Minimization problems that alternately updates the Second-Order Factors，SMSOF)将IIR滤波器的minimax设计问题转化为一系列的minimax子问题，本文采用基于高斯牛顿(Gauss-Newton，GN)策略［3］的直接最小化方法把非凸的子问题转化为二阶锥规划(Second-Order Conic Programming，SOCP)问题进行求解。在提供合适的初始点及迭代步长的情况下，此方法绝对收敛且能得到比现有一些方法更好的设计结果。

1 设计问题的数学描述

设计滤波器频率响应函数分子和分母的阶数分别为M和N，用H(z)表示IIR滤波器的传递函数如下:

式中，P=N/2，bm(m=0,1,…,M)，μp1(p=0,1,…,P)，μp2(p=0,1,…,P)为滤波器系数。令b=［b0，b1，…，bM］T，μ=［μ11，μ12，μ21，μ22，…，μP1，μP2］T。设D(ω)为期望的频率响应，并定义:

为实际频率响应与期望频率响应之间的逼近误差，称为频率响应误差。那么，滤波器的minimax设计问题可以描述为:

另外，滤波器的稳定性是由其传递函数的极点分布决定的，若要求滤波器的极点位于半径为ρ＜1的圆内，则由稳定三角形［4］和文献6可得滤波器的稳定域为:

S={α∈RN|所有Ap(z)的零点均位于半径为ρ的圆内}=S1∩S2∩…∩SP，其中，Sp={α∈RN||ραp1|－αp2＜ρ2，αp2＜ρ2}(p=0,1,…,P)。

针对以上minimax设计问题式3，采用文献7中提出的SMSOF方法将其转化为一系列的minimax子问题。每个子问题中除了分子，只对分母A(ejω)中的一个二阶因子Ap(ejω)进行优化。通过不断更新此二阶因子，即对一系列的最小化问题进行求解，最终可得到式3的解。由SMSOF方法产生的minimax子问题描述如下:

然而式4是非凸的，在本文中采用GN策略把此问题转化成一系列的二阶锥规划问题进行求解。令子滤波器的传递函数和滤波器系数分别为:

式中，i=1，2，…，M+3，δi表示向量δ中的每一个元素;δμ表示δ中对应分母系数的部分。

式8中第一个约束式是一个圆锥形约束，第二个约束式关于δ是线性的，因此很容易对式8进行求解。GN算法的每次迭代过程都会求得δ，在新的迭代中令:

这样就把原来的IIR滤波器minimax设计问题式3最终转化为一系列的SOCP问题得以求解，把此SMSOF与上述GN策略相结合的方法称为SMSOF-GN方法。

2 仿真实例

给出两个IIR滤波器的设计实例，分别采用本文提出的SMSOF-GN方法和文献8中提出的SCLSLSK方法以及将SCLS技术与GN策略相结合的SCLS-GN方法进行求解。在两个例子中均设置取样频率点数L=400，分别取半径参数r=0.95，0.92，迭代步长β=0.5，0.1。最后对几种设计方法得出的结果进行比较。

例1设计一个高通IIR滤波器，分子和分母的阶数M=N=14，通带Ωp=［0.525，］，阻带Ωs=［0，0.475］，通带群延迟G=12.0。

例2设计一个低通IIR滤波器，分子和分母的阶数M=N=10，通带Ωp=［0.6，］，阻带Ωs=［0，0.5］，通带群延迟G=8.0。

两个设计实例的滤波器频率响应误差幅值曲线如图1、2所示。其中，虚线代表SCLS-GN方法;长虚线代表SCLS-LSK方法;实线代表本文SMSOF-GN方法。采用不同设计方法得到的滤波器性能参数如表1所示，其中:MEM代表通带和阻带的最大幅值误差;PMME代表通带的最大幅值误差;SMME代表阻带的最大幅值误差;MGDE代表最大通带群延迟误差;MPR代表最大极点半径。通过分析表1中的数据可以看出，SMSOF-GN方法得出的结果相比SCLS-LSK方法和SCLS-GN方法得出的结果，在通带群延迟和频率响应误差两方面均有改善。

图1 例1设计的滤波器特性曲线

图2 例2设计的滤波器特性曲线

表1 本文设计方法与其它方法的比较

3 结束语

本文提出的SMSOF-GN方法把IIR滤波器的minimax设计问题转化为一系列的minimax子问题，进一步采用GN策略转化为二阶锥规划问题进行求解。仿真实例表明，应用本文设计方法求解IIR滤波器的minimax设计问题能够得到更小的频率响应误差和通带群延迟误差。

［1］Chottera A T，Jullien G.A linear programming approach to recursive digital filter design with linear phase［J］.IEEE Trans.Circuits and Systems，1982，29(3):139－149.

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［4］Antoniou A.Digital Filters:Analysis and Design［M］.New York:McGraw-Hill，1993.

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［7］Lai X P.A Sequential Minimization Procedure for Minimax Design of IIR Filters Based on Second-Order Factor Updates［J］.Circuits and Systems，2011，58(1):51－55.

［8］Lai X P.Minimax Design of IIR Digital Filters Using a Sequential Constrained Least-Squares Method［J］.Signal Processing，2010，58(7):3 901－3 906.