王群英

(肇庆科技职业技术学院基础课教学研究部，广东肇庆 526110)

1 矩阵分解的概述

矩阵是数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具。矩阵是线性代数中最为重要的核心内容，很多问题都可以归结为矩阵并最终通过矩阵解决。在近代数学、工程技术、信息处理、经济理论管理科学中，也大量涉及到矩阵理论的知识，矩阵分解是实现大规模数据处理和分析的一种有效工具，在工程计算中具有重要的实际意义。矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。另一方面，矩阵理论发展到今天已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积或者一些矩阵之和，矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。寻求矩阵各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。因为这些分解式的特殊形式，一是能明显地反映出原矩阵的某些特征;二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析依据。这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其它领域方面也起着必不可少的作用。

2 矩阵的分解方法

2.1 矩阵LU分解

LU分解，设A=(aij)是n阶可逆矩阵，如果A的对角线下(上)方的元素全为零，即对i＞j，aij =0(对i＜j，aij=0)，则称矩阵A为上(下)三角矩阵，上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵。……