程良炎

(黄石理工学院数理学院,湖北黄石 435003)

1 预备引理

定义 把含有n个元素的集合恰好分成r个无序非空子集的所有不同划分的数目称为第二类stirling数,记为S(n,r).

对于n=r=0时,定义S(0,0)=1,当n＜r时,S(n,r)=0.

2 对S(n,n-L)中n、M、L关系的探讨

我们这里约定L≥1,因为当L=0时,显然有S(n,n-L)=S(n,n)=1.

2.1 提出问题

前面的 4个引理都给出了 n的取值范围,即n≥M且M=2L,现在我们来尝试一下将M=2L改为M≥2L,看会出现什么结果,现以引理2为例,将条件 n≥8改为 n≥10来计算S(n,n-4).

解 由S(n,n-4)的定义,不难看出将n个球放进 n-4个盒子里且每个盒子至少放入1个球的方法是:先将n-4-k个盒子里各放入1个球,再将剩余的 k个盒子共放入 4+k个球,且这 k个盒子中每个盒子至少要放入 2个球,因为n≥10,n-4-k≥0,则知k≤6,又由于球的个数必须超过盒子数,则所有盒子中放入的球数超过 1的盒子数至少是 1,则知k≥1,故k的取值范围为 1≤k≤6.

为了表达方便,先设Pi为k=i(k=1,2, 3,…4,5,6)时的分拆数.

1) 当k=1时,4+k=5,要将5个球放入 1个盒子中,其余的 n-5个盒子中各放入1个球,其球的放法只有 1种情形,相应的方法数为:

2) 当k=2时,4+k=6,将6个球放入2个盒子中,相应的放法有 2种情形,分别为: (2,4),(3,3),相应的方法数为:

3) 当k=3时,4+k=7,将7个球放入3个盒子中,相应的放法为:(2,2,3),相应的方法数为:

4) 当k=4时,4+k=8,将8个球放入4个盒子中,相应的放法为:(2,2,2,2),相应的方法数为:

5) 当k=5时,4+k=9,将9个球放入5个盒子中,每个盒子至少放入 2个球是不可能的,则相应的方法数为:

6) 当k=6时,4+k=10,将10个球放入 6个盒子中,每个盒子至少放入 2个球也是不可能的,则相应的方法数为:

将以上方法数相加得:

由此可以看出,当 n≥10时,利用引理 2是可以计算S(n,n-4)的,但是这里关键的……