刘超，王军，郭治

(1.山西大学 物理电子工程学院，山西 太原030006;2.南京理工大学 自动化学院，江苏 南京210094)

为使武器系统对其有效射击区域内的机动目标有尽可能高的射击效能，应对不同的射击过程建立相应的射击体制［1］。对坦克系统而言，射击域为射击门在目标迎弹面上的投影;对高炮系统而言，射击域为未来空域窗; 对跟瞄系统而言为现在空域窗。实际中机动目标的航路是由常态分量和随机分量组成。目前对于常态分量的预测研究较多，而对随机分量，常作随机扰动而不纳入指标范畴。事实上当目标常态分量的预测较准确，使射击域中心与常态航路保持相对一致时目标随机分量会平稳地随机穿越射击域。文献［2-3］研究了机动目标随机穿越射击域时的概率模型及其精度问题。基于这些模型，文献［4-5］分别研究了随机穿越情况下穿越周期内和滞留时间内毁伤概率的估计问题。文献［6］研究了随机穿越情况下给定滞留时间个数时毁伤概率的估计问题。这些研究是基于: 只有当目标处于射击域时射击，且当射弹抵达射击域时目标也在该域中时，才可能以概率命中目标。在实际中，射击域的设置、射弹散布及密集度、射速和弹速的确定以及目标自身的机动特性共同决定了目标对射击域的滞留时间和毁伤概率。但由于滞留时间的随机性，即使合理配置的情况下也会出现小的滞留时间。当滞留时间小于射弹反应时间，那么在本次滞留时间内是无法命中目标的，即使在射弹飞抵时间内目标有可能多次穿越射击域，但两者又同时在射击域内交汇的概率非常小。所以考察那些大于射弹反应时间的滞留时间内的毁伤概率具有实际意义。通常的毁伤率是指在规定的总发弹量或给定时间内连续射击条件下命中预定目标发数的概率［7-8］。由于目标在射击域中的滞留时间是随机变量，所以机动时的射击效能和毁伤率分析，应将滞留时间序列的概率特性纳入其中。本文基于给定时间与滞留时间序列的概率关系及武器系统射击的延时特性，研究随机穿越情况下给定时间内毁伤概率的估计问题，提出一种在给定时间内通过求解对应的统计滞留时间序列中大于一定值的有效滞留时间数量的概率的方法，给出相关的表达式及其近似公式，通过仿真分析给出相关结论。

1 问题描述及定理

定义1 定义目标处在射击域内时的射击为有效射击或滞留射击。

定义2 定义在规定时间内以确定的射击规则进行滞留射击时命中规定弹数以上的概率为随机穿越毁伤率。

本文考虑若在给定时间tg内，滞留时间和待机时间的个数分别服从参数为μ0和μ1的泊松分布，则在tg内滞留时间个数的均值为［9］

可见，给定了tg就可确定tg内的平均滞留时间个数因此，以作为统计量对tg内的统计滞留时间序列进行分析，可以得到tg对应下的相关统计量。因此定义2 可进一步叙述为:

定义3 定义在给定平均滞留时间个数N 内，以确定的射击规则进行滞留射击时命中规定弹数以上的概率为给定时间下滞留时间序列的毁伤率。

若考虑武器系统从目标进入射击域瞬时下达的射击指令到弹头射出存在的系统延时td，则目标的实际有效滞留时间tr应满足tr≥td.这时，在所对应的序列{ X1，X2，…，} 中，那些满足不小于td的滞留时间中存在命中概率。

设在ξ=ti条件下，{N( t-ti)，t≥ti} 是一个随机射击计数过程。记ξ≥0 为目标进入射击域时刻，t≥ξ 为目标离开射击域时刻，ξ，t 为正随机过程，则该过程为滞留时间条件计数过程。记为{Nξ=ti( t-ti)，t≥ti}.

考虑射击时间间隔{ηi，i=1，…} 服从参数为γ的指数分布［10］，其密度函数为fη( τ)=γe-τγ，γ≥0.由于在ξ=ti条件下，射击次数计数过程{ N( t-ti)，t≥ti}的点间隔序列{ηi，i=1，…}为相互独立、同指数分布的随机变量，所以滞留时间条件计数过程{Nξ=ti( t- ti)，t ≥ti} 是参数为γ 的条件Poisson过程。

引理1 设一个计数过程{Nc( t)，t≥0} 是参数为γ 的泊松过程。如果其中归为一类事件发生的概率为p，而归为另一类事件发生的概率为(1-p)，则{Nc( t)，t≥0} 可分裂成2 个参数分别为pγ 和γ(1-p)的泊松过程{ Nc1( t)，t ≥0} 及{ Nc2( t)，t≥0}.

定理1 若滞留射击内的射击时间间隔是参数为γ 的同指数分布，平均单发命中概率为p.则一次滞留射击过程中，滞留命中计数过程{Mξ=ti( t-ti)，t≥ti}是一个参数为pγ 的条件Poisson 过程。

证明1 由条件可知，滞留射击内的射击次数Nξ=ti( t-ti)是参数为γ 的Poisson 过程。相应的滞留命中次数可表示为

其中，Ii为第i 次射击的示性函数，即命中时为1，否则为0.所以Ii是(0-1)分布

由引理1 可得{ Mξ=ti( t-ti)，t≥ti} 是参数为pγ 的Poisson 过程。即一次滞留射击中命中k 发的概率为

式中:( t-ti)为滞留时间，是随机变量，可记为tr=( t-ti).所以，(2)式是一个以k 为参数，以tr为随机变量的随机函数，记

定理2 在一个滞留时间中，命中k 发以上所需的滞留时间的下限满足

式中td为武器系统从目标进入射击域瞬时下达射击指令到弹头射出时存在的射击延时。

证明2 若射击时间间隔服从γ 的指数分布，则平均射击间隔为1/γ，由定理1 可得射击过程中的平均命中时间间隔为1/pγ，则命中目标k 发所需的最小平均滞留时间为( k-1)/pγ.若再考虑首发射击延时td，则命中k 发以上所需的滞留时间tr应大于下限值t1( k)，即应满足(4)式。证毕。

(4)式给出了命中目标发数k 与最小平均有效滞留时间之间的概率关系。从而可以通过求解在给定时间tg内对应的中有效滞留时间个数的概率来估计毁伤概率。以下利用伽马分布的一个特性导出滞留时间为指数分布时，给定tg下个滞留时间中大于有效滞留时间的个数的概率。

引理2［10］若{Yi，i=1，…} 独立同分布，具有参数为n 和b 的伽马分布Γ( n，b)，则Yi的概率函数为

则X 中有l 个不小于给定值C 的概率为

其中

为Xi≥C 的概率。

证明3 由{Xi，i=1，…，N}的独立性可知，L 是具有参数为和pc的二项分布，则( 5)式成立。再由引理2 可得

定理4 若滞留时间序列独立同服从参数为b的指数分布EP( b)，则中有l 个有效滞留时间的概率为

即，令(6)式中的n=1，再代入(5)式，即得(7)式。

2 滞留时间序列的毁伤概率

2.1 毁伤率表示

设弹目在射击域内散布偏差的密度函数为f .当目标迎弹面Ω0落入射击域时开始射击。则二维射击域中的平均单发命中概率为

1)给定滞留时间序列下的毁伤率

在tg内，滞留时间tr出现的可能范围为0≤tr≤tg，但在tr≤td中，命中目标的概率几乎为0.若毁伤目标至少需要命中目标m 发弹，由( 4)式可知，tr应满足tl( k)≤tr≤tg，lk≥m，1≤k≤m.其中l 为中满足tr≥tl( k)的有效滞留时间个数。记P{m|为个滞留时间序列中命中m 发的概率。则由定理3 及定理4 可得，在给定参数μ0、及m 和k时，至少命中m 发的滞留时间序列毁伤率为

2)首段滞留时间内的毁伤率

2.2 毁伤率的近似计算

通常，用(9)式计算并不方便。以下给出它的2 种不同条件下的近似计算公式。

式中Φ(·)为标准正态分布函数。

即上式是参数为Npc的Poisson 分布。( 12)式和(13)式的计算可通过标准分布表得到。

3 应用与仿真分析

在实际中，对于确定的射击域和具体的一个机动目标，μ0和μ1是确定的。在给定时间tg下可由(1)式得到对应的平均滞留时间个数根据毁伤目标至少需要命中目标的弹数m，确定个滞留时间内的射弹密集度和武器配置，以保证射弹量大于m.由射弹密集度可以确定平均射击时间间隔1/γ.

以下通过仿真来验证和分析本文中的主要结论(9)式、(12)式的正确性和实用性。为简化运算便于比较，给出了给定时几组无量纲参数的仿真结果。已知=10，p=0.08，γ=30，td=0.6，平均滞留时间分别取: 1/μ0=0.6，1，1.5，2，2.5;预期毁伤率分别取m=1，2，3，4，5;l=1.估计tg条件下中至少有1 个滞留时间满足命中至少m 发的毁伤概率。

由以上参数，直接利用( 9)式或( 12)式可以得到给定tg时至少命中m 发的毁伤概率。

一个仿真实验结果列在表1中。表中第1 列的第1 行(0.827 90)表示在μ0和μ1确定下，给定时间tg内至少满足命中一发的毁伤概率，第2 行(0.545 98)表示给定时间tg内至少满足命中2 发的毁伤概率。由表可看进一步出:m 不变，毁伤概率随1/μ0的增大而增大。即当平均滞留时间增大时，意味着滞留序列中满足毁伤目标所需的有效滞留时间个数的概率也增大，从而使预期命中发数m 以上的概率也随之增大。由此可见，当1/μ0很大时，滞留毁伤率将趋于通常意义下的射击时间无限制的情况。所以常规射击时的毁伤率问题是本方法中的一个特例;当滞留时间参数不变时，毁伤概率会随m的增大而减小，这说明滞留时间均值不变时，满足较大的预期命中发数m 所需的有效滞留时间个数的概率会下降，因而毁伤率也随之下降; 表中标识‘* ’的列中数据是对应前一列参数利用(12)式得到的结果。易见，由(12)式同样可得到较精确的计算的结果。

表1 滞留时间序列毁伤率的分析结果(=10)Tab.1 Analysis results on kill probability based on residence time processes

表1 滞留时间序列毁伤率的分析结果(=10)Tab.1 Analysis results on kill probability based on residence time processes

m 1/μ0 0.6 1.0 1.5 *2.0 2.5 1 0.827 90 0.992 62 0.998 83 0.998 03 0.999 89 1.000 00 2 0.545 98 0.928 13 0.990 05 0.987 95 0.998 32 0.999 98 3 0.256 55 0.764 28 0.949 51 0.947 70 0.987 70 0.996 82 4 0.086 51 0.517 60 0.838 48 0.838 90 0.945 23 0.980 10 5 0.020 95 0.273 88 0.638 98 0.639 84 0.833 76 0.922 03

由(9)式可知，不同的l 情况下所得命中期望发数m 的概率是不同的，而每种情况都可能发生。因而，在给定的tg和m 时，存在着至少命中m 发的最大概率和最小概率，即存在一个概率区间

对上式概率区间求平均值得

上式表示给定tg时至少命中m 发的所有毁伤概率的平均值。因此可以用这一统计特征来整体评估一个武器系统对一类目标在机动时的毁伤概率。

4 结论

本文基于时间固定与滞留时间随机之间的关系，研究了给定时间内统计滞留时间序列的命中与毁伤概率的相关特性，得到有效滞留时间与命中次数之间的关系;通过泊松分布与伽马分布的有关性质，导出了一种利用求解给定时间内平均滞留时间

序列中满足有效滞留射击时间个数的概率来估计给定时间下的毁伤率的解析表示和近似计算公式，最后进行了应用分析，并通过仿真实验分析了毁伤率与各参数之间的关系及结论的正确性。结果表明常规射击时的毁伤率可归为本方法中的一个特例，因而具有普适性，可为机动条件下的毁伤效能评估提供一种实用的方法。

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