李瑞川, 陈君若, 刘显茜, 张 赛

(昆明理工大学机电工程学院， 云南 昆明 650093)

0 引 言

多孔介质中流体流动的研究是涉及石油天然气开采、冶金材料、化工纺织、土壤力学、地下水利用、地学及生命科学等多学科交叉领域中具有重要意义的一项应用基础性研究，在能源、环境和生物等众多科学及工程技术领域中有着重要的应用背景.20世纪70年代Benoit B. Mandelbrot创立的分形几何理论为研究多孔介质复杂的微观孔隙结构提供了新的思路和方法.多孔介质具有分形孔隙结构的概念较早是由Avnir等人[1]用分子吸附技术研究岩石孔隙结构后提出的，Kaze、Thompson[2]及Krohn等[3]利用扫描电镜对多孔的砂岩(sandstone)孔隙结构进行了基于分形概念的表征，并测定了分形维数.Rieu、Sposito[4]借助于Sierpinski地毯图案提出了孔隙分布的分形模型.目前大量文献报道表明，土壤、沙石、纤维织物、多孔材料等多孔介质具有分形特征,并且已有学者基于分形几何概念及多孔介质的微观特性对多孔介质的渗透输运性质进行了一定的研究.

本文从多孔介质孔隙结构的微观特性出发，根据分形理论的基本性质和流体力学的某些关系式，推导出分形渗透率模型的计算公式，并与前人实验值进行了比较，预测值和实验值吻合较好，验证了模型的准确性，从而提出了对颗粒床渗流过程进行分形研究的可行性.

1 分形理论基础

根据分形几何理论，多孔介质孔隙大小分布函数与孔隙分布分形维数有如下关系式[5]

(1)

式(1)中N是分形集合体中孔隙半径等于和大于r的孔隙数目；rmax是分形集合体中最大孔隙半径；P(r)是孔隙半径分布密度函数；D是孔隙分布分形维数.

将式(1)两边对r求导，得孔隙半径分布密度函数P(r)的表达式为

(2)

以上式中的孔隙分布分形维数D可以借助于Box-counting method测量得到，即由式(1)对不同r两边取对数的方法，这种关系在双对数坐标上表现为一直线关系，其负斜率即为孔隙分布分形维数；也可以根据Sierpinski-type gasket自相似性原理(如图1所示)推导其分形维数为[6]

(3)

图1 谢尔宾斯基“篮子”

式中d+是粒子团直径与最小颗粒直径之比，εi是粒子团内部的空隙度(令εi=0)，ε是多孔介质的有效空隙度.

针对一个分形集合体(a set of fractal pores)而言，由式(1)第二式进行积分可计算出总的孔隙横截面积:

(4)

则分形集合体(可看作是一个单元)所对应的横截面积，即该单元的总面积为:

(5)

式中最大孔隙半径rmax与颗粒大小ds有关[7].

2 分形渗流速度和渗透率模型

2.1 渗流速度

流体通过单个弯曲毛细管的流量由Hagen-Poiseulle方程[8]决定:

(6)

式中，μ是流体黏度系数，ω是毛细管迂曲度，p是压力差.

则流体通过多孔介质单位横截面积A0的体积流量，即分形多孔介质中的渗流速度表达式为:

(7)

2.2 渗透率

设多孔介质中流体流动服从Darcy定律[9]

(8)

比较式(7)和式(8)，可得分形多孔介质渗透率的分形表达式如下:

(9)

由式(5)和式(9)可见，多孔介质的渗透率是多孔介质孔隙分布分形维数、空隙度和微观孔隙结构参数的函数，其中ω的计算采用文献[10]中给出的公式：

(10)

该分形渗透率模型中不包括任何经验常数，每一参数都有明确的物理意义.它反映了分形多孔介质对流体的通过能力，只与多孔介质的微观结构特性有关，而与流体特性无关.

3 分析与讨论

3.1 渗透率分别与孔隙分布分形维数、孔道迂曲度的关系

分形多孔介质孔隙分布分形维数D、孔道迂曲度ω是反映多孔介质结构特性的参数.对渗透率K进行关于D和ω的函数计算，孔道迂曲度ω分别取1.1,1.3和1.5，由图(2)可见，多孔介质渗透率K随孔隙分布分形维数D的增加而呈递增的趋势；孔道迂曲度ω越大其渗透率K反而减小.这一变化是合理的.D的增加意味孔隙在空间占有率上的提高和孔相中大尺寸孔隙数量的增加，其渗透率K越大；而ω越大表明孔道越弯曲，其内部流体流动阻力越大，渗透率K越小.

图2 渗透率K～D关系曲线 图3 无量纲渗透率K+～ε关系曲线

3.2 渗透率与空隙度的关系

由式(9)可得无量纲渗透率表达式如下:

(11)

图4 预测值和实验值的对比

图3为无量纲渗透率K+与有效空隙度ε的变化曲线，结果表明无量纲渗透率K+随有效空隙度ε的增加而呈递增的趋势，这与实际情况相符合.

3.3 模型预测值与实验值的比较

图4为多孔介质有效空隙度ε取0.42时，基于分形模型和颗粒床中气体渗流过程Ergun关系式[11]的渗透率预测值与实验值[12](ds分别取0.112 5, 0.140 0, 0.225 0, 0.317 5)的对比.结果表明，与Ergun关系式的渗透率预测值相比较，分形模型渗透率预测值更加接近实验值，这也验证了该模型的准确性和可行性.因此，基于分形理论构造的模型更加符合多孔介质的真实结构特性.

4 结 论

(1)基于分形几何理论和渗流力学关系式，推导出了分形多孔介质渗流速度和渗透率模型的计算公式，它们可通过多孔介质孔隙分布分形维数D、有效空隙度空隙度ε和微观孔隙结构参数计算出来.

(2)多孔介质渗透率K随孔隙分布分形维数D的增大而增大，随孔道迂曲度ω增大而减小；无量纲渗透率K+随有效空隙度ε的增加而呈递增的趋势.

(3)将分形渗透率模型和文献中的经验公式进行对比分析，并与前人实验值进行比较，验证了模型的准确性.

参考文献

[1] Pfeifer P, Avnir D. Chemistry in nonintegral dimensions between two and three[J]. J Chem Phys, 1983, 79(7): 3 369-3 558.

[2] Kaze A J, Thompson A H. Fracral sandstone pores: implications for conductivity and pore formation[J]. Phys Rev Lett, 1985, 54: 1 325-1 332.

[3] Krohn C E. Sandstone fractal and Euclidean pore volume distributions[J]. Geophys Res, 1988, 93(B4): 3 286-3 296; Fractal measurements of sandstone, shale and carbonates[J]. Geophys Res, 1988, 93(B4): 3 297-3 305.

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