刘艳军， 肖波齐

(1.中核集团核反应堆热工水力技术重点实验室, 四川 成都 610041；2.三明学院物理与机电工程系， 福建 三明 365004)

0 引 言

1 考虑摆球线度与摆线质量时单摆的周期公式推导

如图1当小球半径相对于悬线长度不能忽略时，由转动惯量可得：

(1)

(2)

在理想情况下当摆球为实心球并忽略空气阻力的影响，而摆球线度与摆线质量不能忽略时，摆球不能被看作为质点，而应近似作为刚体,当摆角小于5°时模型如图2所示.

悬线OC基本上处于直线状态，所以这时候的单摆可以近似地看成复摆，由式(1)、(2)可知：

(3)

图1 小球半径不可忽略 图2 摆球线度与摆线质量不能忽略时单摆的物理模型

式中R表示摆球半径，l表示摆长.作用在摆球上的外力对O的力矩为：

M=-mglsinθ

(4)

当φ<5°时,sinφ≈φ，可得 ：

M=-mglθ

(5)

(6)

把(3)式代入(6)式得：

(7)

令摆线质量m′=km,又由移项消去m得：

(8)

由简单模型可知单摆运动学方程为：

(9)

由(9)式知：

(10)

(11)

由式(1)可知：

(12)

由式(12)/(10)得：

(13)

2 用Matlab处理单摆的周期并讨论其物理意义

Clear，clf，k=0.1

x=[0.1:0.1:0.9]

y=sqrt(0.4*x+k/4+1)

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表1 k=0.1时y与x的数据关系

表2 k=0.05时y与x的数据关系(同理编程)

表3 k=0.01时y与x的数据关系(同理编程)

为了更直观地表示出x与y的关系，通过origin画图软件画出其关系曲线如图3所示.

图 时x与y的关系曲线

从图3中可以更直观地看到，在理想情况下当摆球为实心球，摆角φ<5°并且忽略空气阻力的影响，当x的值增大的时候，相对应的y值也增大，这说明当小球半径增大，直至小球半径增加到与摆线相近时，且摆球线度与摆线质量不能忽略时周期增加，这是与实际情况相符合的.从图中还可以看出，当摆线质量增加时，且摆球线度与摆线质量不能忽略时周期增加，这是与实际情况相符合的.

3 结束语

参考文献

[1] 熊化高,陈 浩.有阻尼单摆的冲击波解[J].大学物理,2007,5(12): 20-23.

[2] 龚相超,胡百鸣.单摆非线性问题的线化摄动解[J].绵阳师范学院学报,2008,77(2): 12-16.

[3] 罗均华,王新兴.影响单摆振动周期因素的研究[J],河西学院学报,2002,35(5): 56-59.

[4] 刘国跃,龚劲涛,吴 英,摆运动的非谐振……