赵天玉 (长江大学信息与数学学院,湖北荆州434023)

记G(M,M0)=

(M,M 0)也是调和方程

Green函数是求解调和方程边值问题的重要方法之一,在船舶磁场的计算[1]与物理大地测量学[2]等方面都有应用。传统教材定义调和方程的Green函数有2种方式,分别是基本解方式[3]和狄拉克δ函数方式[4];文献 [5]讨论了2种定义方式的等价性,而且几乎以Dirichlet内问题进行讨论;文献 [2]讨论了外问题的Green函数,但没有给出满足的条件;文献 [6]和文献 [7]从物理角度出发,用狄拉克δ函数讨论了Neumann问题。下面,笔者对以基本解方式定义的Green函数进行研究①长江大学2009年教学研究立项项目 (JY2009012)。。

1 Neumann内问题的Green函数

设 Ψ为 R3中的有界区域,且具光滑边界 Γ,u(M)∈C2(Ψ)∩C1(¯Ψ)。考虑边值问题:

问题(1)有解的必要条件[3]是:

另外,若M0(x0,y0,z0)是区域Ψ内的某一固定点,则调和函数u(M)可表示为[3]:

式中,rM0M=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2。

从式(3)中看出,要想求解问题(1),必须消除 u项。如果引入Dirichlet问题Green函数一样[3],g(M,M0),g(M,M0)满足。这时,由高斯公式知不满足条件(2),g(M,M 0)可能不存在。

为解决上述问题,有2种方法:

1)修改方程方法 引入满足下列定解问题的函数g(M,M0):

式中,h(M)待定。由格林第二公式[3]推得问题(4)有解的必要条件为:

记G(M,M0)=

2)修改边界条件方法 如果问题(4)中的方程修改为调和方程,边界条件修改为:

则根据调和方程Neumann内问题有解的必要条件:

(M,M0)也是调和方程

2 Neumann外问题的Green函数

设 Ψ为R3中的有界区域,且具光滑边界 Γ,u(M)∈C2(Ψ′),Ψ′为Γ的外部区域,且u(M)在 Γ上有一阶连续偏导数,考虑边值问题:

设M 0(x0,y0,z0)是 Ψ′内任意一点,问题(6)的Green函数为G(M,M0)函数g(M,M 0)满足条件:

下面证明格林函数及其满足的条件的合理性。作以原点O为球心,以任意大的正数R为半径的球面ΓR,使得 ΓR包含Γ和M 0(x0,y 0,z0),并记 ΓR与Γ所夹的区域为ΨR。在以 A=Γ∪ ΓR为边界的区域 ΨR上,讨论问题(7)。根据调和方程Neumann问题有解的必要条件,d SM=0。作以 M0为球心,以充分小的正数ε为半径的球面 Γε,它所包围的区域为 Ψε。在区域 ΨR/Ψε上应用高斯公式得:

令R→+∞可得要证明的结果。

在以A=Γ∪ΓR为边界的区域ΨR上,对调和函数u,g应用格林第二公式[3]可得:

即:

→n与球半径r指向相同,故:

在式(9)中,令R→+∞,可得:

对于 M 0(x0,y 0,z0)∈ Ψ′,由于 u(M)调和,由条件(10)和文献[9]知,调和函数u(M 0)也可用式(3)表示,只是表达式中Γ的法向量指向内侧。

式(3)减去式(11)可得:

注意到u,g满足的边界条件得到:

3 应 用

下面求解以原点O为球心,R为半径的球面K R外的区域Ψ′上的Neumann问题,其中u在K R上有一阶连续偏导数:

先求格林函数 。设 M0(ρ0,θ0,φ0)是球面K R外 Ψ′上的任意一点,在线段OM 0上取一点 M 1(ρ0,θ0,φ0),使得 ρ0ρ1=R2,显然 M1在球内 ,称 M1为M0关于球面 KR的反演点 。设 M(ρ,θ,φ)是 Ψ′内的动点,γ是ρ0,由余弦定理可得:

可以验证由文献[2]给出的函数:

满足条件(7)。故:

其中,cosγ=cosθcosθ0+sinθsinθ0 cos(φ-φ0)。问题(13)的解化为球坐标形式可得:

[1]周耀忠.格林函数在船舶磁场计算中的应用 [J].中国修船,2006,19(5):29-31.

[2]张传定,陆仲连.球域调和函数外部边值问题的格林函数解 [J].解放军测绘学院学报,1994,11(3):161-165.

[3]谷超豪.数学物理方程 [M].第2版.北京:高等教育出版社,2002:68-95.

[4]于涛.数学物理方程与特殊函数 [M].哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2006:99-116.

[5]柯导明,陈军宁.数学物理方法 [M].北京:机械工业出版社,2008:297-311.

[6]刘凤勤.对格林函数法的边值问题的讨论[J].潍坊学院学报,2002,2(2):24-27.

[7]胡先权.格林函数法解静电场第二类边值问题的方法 [J].重庆师范学院学报 (自然科学版),1990,7(3):36-43.

[8]赵天玉,刘庆.反演变换在调和函数研究中的应用 [J].长江大学学报 (自然科学版),2009,6(3):N1-4.

[9]赵天玉,李凯.调和方程Dirichlet外问题的Green函数 [J].长江大学学报 (自然科学版),2010,7(2):N36-43.