朱 彤， 刘 朵， 胡家顺， 周 晶

（大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁大连 116024）

0 引 言

裂纹是结构损伤的重要表现形式之一.在复杂的外荷载作用下，结构中出现裂纹的位置往往复杂多变，其振动响应因裂纹位置的不同而发生改变.为了研究裂纹结构的振动特性，首先必须建立合适的裂纹分析模型.基于等效降截面、局部柔度与一致裂纹梁原理的模型是目前常用的3种模拟裂纹的方法.其中，基于局部柔度的裂纹模型因其理论性强、物理意义明确而被广泛应用.这是一种利用线性断裂力学原理计算外荷载作用下的裂纹局部柔度，并通过“有限元”或“弹簧铰”描述裂纹局部行为的方法［1～3］.

目前，国内外众多学者针对矩形、圆形以及中空等裂纹截面形式，均建立了基于局部柔度的裂纹模型［4～10］.在上述模型中，裂纹方向与外荷载方向垂直或平行，即假定截面裂纹的位置是固定的.然而，这种假定在实际工程中并不常见.复杂的外界环境使得结构中出现的裂纹常常与外力成任意角，并非仅仅与外力垂直或平行.在裂纹转子动力学中，已有许多学者研究了裂纹与外力成任意角的裂纹模型，但是对于管类结构中裂纹与外力成任意角的裂纹模型研究却鲜有报道［11］.Naniwadekar等通过模型试验的方法研究了裂纹与外力成任意角的管类结构的振动特性，但并没有给出相应的解析解［12］.为了进一步扩展裂纹结构的局部柔度理论，本文开展裂纹与外力成任意角的管类结构局部柔度的理论研究，针对含有非贯穿直裂纹的裂纹管类结构在纯弯矩作用下的局部柔度进行理论推导和数值求解.

1 非贯穿直裂纹管局部柔度计算理论

图1为非贯穿裂纹管示意图.首先作如下假定：（1）裂纹类型为非扩展型；（2）考虑裂纹的呼吸效应；（3）采用各向同性的匀质材料，参数E为弹性模量，ν为泊松比.图中a为裂纹深度；t＝（De－Di）／2，为管壁厚；De为管外径；Di为管内径；φ为方向角，即裂纹尖端与水平面的夹角.

下文中将对0°≤φ≤180°的裂纹局部柔度进行讨论，对于裂纹位于180°≤φ≤360°的情况，局部柔度可通过对称性求得.由于应力强度因子应用条件的限制［3］，本文首先考虑裂纹方向角0°≤φ≤30°的情形，且文中仅考虑水平弯矩荷载p3的作用，不考虑轴力和剪力的影响.根据图1中裂纹截面的几何尺寸，可得出如下几何关系：

式中：b为裂纹宽度的一半为距离矩形微元体顶部的局部深度变量；h′（η）为微元体深度为总体坐标系下的深度变量；η为总体坐标系下的偏移距离.

图1 裂纹截面的几何尺寸Fig.1 The geometric dimensions of a cracked section

根据平面裂纹梁理论，裂纹深度为定值a′的矩形微元体裂纹区域的应变能为

式中：dη为矩形条带的宽度；J（ξ′）为应变能密度函数，用如下方程表示：

式中：平面应变状态下E′＝E／（1－ν2）；平面应力状态下E′＝E；KΙ为弯矩荷载p3作用下的应力强度因子，表示为

其中裂纹应力强度因子的修正系数F2表示为

根据线弹性断裂力学理论，由裂纹引入的附加应变能为

利用卡氏定理（Castigliano′s theorem）求得裂纹引入的附加位移

进一步求得裂纹所引起的附加局部柔度：

化简式（7），在水平弯矩荷载p3的作用下，非贯穿直裂纹管的量纲一局部柔度系数NF（3，3）可表示为

由式（9）可知，裂纹的量纲一局部柔度是方向角φ的函数.当方向角φ发生改变，即裂纹在截面上的位置变化时，裂纹的呼吸（张开与闭合）行为也会随之发生改变.在外弯矩荷载p3的作用下，裂纹截面被分成了两部分，即分别为受拉与受压区域，如图2所示.裂纹可能完全位于截面的受拉区，也可能完全位于受压区，或者部分受拉部分受压［3］.不同区域的裂纹会表现出不同的行为，位于受拉区的裂纹处于张开状态，位于受压区的裂纹处于闭合状态.一般认为，闭合裂纹对裂纹结构的附加局部柔度无影响，可忽略不计；只有张开裂纹对附加局部柔度有贡献.

图2 量纲一柔度系数NF（3，3）随裂纹位置的变化Fig.2 The dimensionless compliance NF（3，3）as function of the crack location

当方向角－30°≤φ≤30°［3］时，可利用式（9）计算裂纹的量纲一局部柔度系数，这是由应力强度因子的限制条件所决定的.随着方向角φ的变化，裂纹的有效积分区域也发生改变.当

时，裂纹完全处于受压区，即裂纹处于闭合状态，此时裂纹无任何附加的局部柔度，NF（3，3）＝0.为方便起见，将φcr称为临界角，作为裂纹是否进入受压区的标志；将φcl称为闭合角，标志裂纹是否已完全进入受压区.在式（11）、（12）中，λ＝a／De，即临界角φcr、闭合角φcl均是裂纹相对深度（a／De）的函数.

上述内容是对裂纹在水平弯矩作用下的情形的讨论.利用同样的研究方法，可以得出裂纹在竖直弯矩作用下的附加局部柔度系数，即

如图3，（a）中所示的裂纹与水平面平行，即φ＝0°；（b）中所示的裂纹与水平面垂直，即φ＝90°.在这两种情形下，由裂纹引起的附加局部柔度是一致的.因此，在竖直弯矩的作用下，方向角－30°≤φ≤0°等价于水平弯矩作用下60°≤φ≤90°的情形，此时可利用式（13）进行量纲一化局部柔度系数的计算.

图3 竖向和水平弯矩作用Fig.3 Bending for the horizontal plane and the vertical plane

所以，在0°至180°的方向角范围内，量纲一化局部柔度系数NF（3，3）计算可以分3段进行，即0°≤φ≤30°、60°≤φ≤90°、φcl≤φ≤180°.对于30°≤φ≤60°和90°≤φ≤φcl的局部柔度系数可根据可导性和连续性的边界条件通过B样条曲线拟合得到［3］.至此，当非贯穿直裂纹位于截面任意位置时，即方向角φ为任意值时的附加局部柔度系数NF（3，3）均可通过计算得到.

2 裂纹管局部柔度系数求解

为了求解非贯穿直裂纹管量纲一柔度方程，即求解式（9）和（13），本文根据文献［1］中的适应性Simpson方法，应用Matlab软件编写了数值积分程序.首先利用该程序对文献［11］中的圆形截面裂纹梁的量纲一化局部柔度系数珋c55（珋c55为水平弯矩作用下的量纲一化柔度系数，下同）进行求解.为了验证本文数值积分程序的正确性及求解精度，将计算结果与文献中给出的数值进行比较，对比结果如表1所示.

表1 局部柔度的理论计算值与文献［11］结果对比Tab.1 Theoretical results and results in Lit.［11］of the local compliance

从表1中的误差一栏可以看出：对于不同的裂纹深度，本文的计算值与文献［11］中给出的结果相比，误差都非常小.且当a／R＝1时，两者的计算结果都等于7.79，从而说明了本文针对量纲一局部方程编写的数值积分程序的合理与可靠性.

根据式（9）或（13）可知，求解裂纹管的附加局部柔度，首先应确定γ和方向角φ.γ是裂纹管的内外径之比，即γ＝Di／De.首先假定γ＝0.5，然后选取不同的φ，以了解方向角的变化对裂纹局部柔度产生的影响.针对方向角0°≤φ≤180°的应用范围，本文选取12个角度值分别进行了计算.

根据不同的裂纹深度（a／De）值，计算出了相应的临界角φcr与闭合角φcl，其结果如表2所示，以便确定裂纹的有效积分区域.

在本文研究的裂纹深度比a／De范围内，最大闭合角φcl为148.668°（见表2中计算结果），因此可以认为，当方向角φ＞150°时，裂纹完全位于截面受压区，即裂纹闭合，量纲一化局部柔度系数NF（3，3）＝0.所以，将12个角度值分成以下3组：

表2 临界角φcr、闭合角φcl随量纲一化裂纹深度a／De的变化Tab.2 Values of the critical angleφcr and the close angle φcl vs.the dimensionless cracked depth a／De

根据应力强度因子的限制使用条件可知，φ1组应利用式（9）求解；φ2组应利用式（13）求解；φ3组的局部柔度均为0.0°≤φ≤180°范围内其余角度的局部柔度系数通过B样条曲线拟合获得.根据上述条件利用本文数值积分程序求解，其计算结果如图4所示.

从图4可以看出：（1）量纲一化柔度系数NF随着裂纹深度的增加而逐渐增大；（2）量纲一化柔度系数NF随着方向角φ的增大而逐渐减小；（3）通过B样条拟合曲线可以方便求得截面任意位置的裂纹附加局部柔度.

图4 量纲一化局部柔度系数NF（3，3）随各参量变化Fig.4 Variations of dimensionless compliance coefficient NF（3，3）with parameters

3 局部柔度系数的试验验证

在文献［12］中，Naniwadekar等采用静力和动力两种试验方法，针对低碳钢裂纹管模型的附加局部柔度进行了研究.文中针对不同的裂纹位置、裂纹方向以及不同的裂纹深度，共84种工况进行了讨论，动力测试与静力测试的结果基本一致.采用文献［12］中的试验模型和动力测试方法，验证本文的计算理论与计算方法是否正确.在弯矩荷载p3的作用下，动力试验获得的等效附加刚度Kt与局部柔度系数c33有如下关系式［1］：

试验模型参数为De＝0.037 8 m；Di＝0.027 8 m；ρ＝7 860 kg／m3；E＝173.8 GPa；a／t＝0.2，0.4，0.6，0.8；φ＝0°，10°，20°，30°，45°，50°，60°.

根据本文前一部分叙述的步骤和方法求得量纲一化柔度系数NF，然后根据式（16）即可得到局部柔度系数：

将本文理论计算得出的裂纹附加局部柔度系数与文献［12］中的试验值进行对比，结果如图5（a）、（b）所示.

从图5中可以看出，本文的裂纹附加局部柔度系数解析解与试验结果基本吻合，且随着裂纹深度系数的增加而逐渐增大.在试验中，裂纹管中的裂纹是通过人工切割产生的，其裂纹尖端位置是相互连接的整体；而本文在进行裂纹附加局部柔度系数的理论推导时，假定了裂纹截面离散的矩形微元体是相互独立的，这可能是产生误差的主要原因.

图5 局部柔度系数的理论值与试验值对比Fig.5 Theoretical results and experimental results of the local flexibility due to a crack

4 结 论

基于线性断裂力学理论和应变能释放率原理，推导了纯弯矩作用下裂纹与外荷载成任意角的非贯穿直裂纹管的附加局部柔度方程，扩展了裂纹管的局部柔度理论.利用Matlab语言编写了局部柔度的数值积分程序，分段求解了0°至180°的裂纹局部柔度系数.由于应力强度因子使用条件的限制，0°≤φ≤30°、60°≤φ≤90°以及φcl≤φ≤180°的局部柔度系数可以通过计算直接得到，而其余的方向角则通过B样条曲线拟合得到，因此，任意方向的裂纹局部柔度系数均可以方便求出.本文的局部柔度解析解与Naniwadekar得到的试验结果基本吻合，验证了该局部柔度理论的正确性.

裂纹管结构附加局部柔度理论的研究工作，为裂纹管类结构的力学特性分析、裂纹识别提供了理论基础和参考.此裂纹管局部柔度理论性强、应用范围广泛，具有一定的工程应用价值［1］.但是，在本文的推导过程中，只研究了非贯穿直裂纹管在纯弯矩作用下因裂纹引入的附加局部柔度，而未考虑轴力、剪力和扭矩以及它们之间的耦合作用，这将有待于在未来的工作中进行深入研究.

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