周 鹏， 赵福令， 吕奇超， 刘 宇

（大连理工大学精密与特种加工教育部重点实验室，辽宁大连 116024）

0 引 言

碳纤维复合材料具有高的比模量、高的比强度、耐磨损、耐高温等优良特性，广泛应用于航天航空领域.其表面形貌对其使用功能有重要的影响.例如，利用碳纤维复合材料制造的飞机刹车盘的表面形貌对其摩擦、磨损性能会产生影响，用于火箭尾部的碳纤维复合材料的表面形貌影响其耐燃烧性能.由于碳纤维复合材料应用在特殊重要的场合，正确客观地评定其加工表面质量，进而研究其对使用性能的影响，有非常重要的意义，也是目前在航空领域中极为紧迫的任务.由于碳纤维复合材料分布各向异性，在切削加工中可能产生纤维拔出、拉松变形、纤维与基体脱粘等多种缺陷［1］，二维的评定结果不能真实描述碳纤维复合材料工件表面的微观形貌特征［2］，表面本质是三维的，只有对材料表面进行三维评定，才能真实地反映材料的表面形貌特征.但是目前，对于材料表面的三维评定还没有统一的标准.而且，材料表面形貌的粗糙度参数是与测量尺度相关的，其测量值的大小不仅与采样条件密切相关，还与测量仪器的分辨率有关，其测量结果常带有测量者的主观性.

机械加工表面具有随机、无序、自相似和自仿射等分形特性［3］，而且分形的计算并不依赖于测量尺度，可以揭示材料表面形貌的固有特征，所以分形理论被用来研究加工表面的形貌特征［4、5］.葛世荣等［6、7］研究了分形维数D与表面轮廓截面曲线的变化关系，并使用表面轮廓高度的平均偏差Ra对同样的表面进行了评定，结果是Ra随分形维数D的增大而减小，所以表面轮廓越光滑，分形维数就越大.但是王海容等［8］的研究结论截然相反：如果材料表面的粗糙度参数Ra增大，其表面形貌的分形维数是变大的.费斌等的研究特点是将材料表面分为各向同性和各向异性表面，分别计算其表面各个不同方向上的二维截面轮廓曲线的分形维数，得出了表面分形维数与轮廓的分形维数之间的关系式.对于各向同性表面，表面分形维数＝表面轮廓的线维数（Dl）＋1，属于此类表面的有研磨、抛光、喷丸等所加工的表面.对于各向异性表面，如果任意两条正交轮廓相互独立或有很弱的相关性，令Dv和Dh分别表示表面相互正交的轮廓的线维数，则表面分形维数＝Dv＋Dh，属于此类表面的有珩磨、平磨和精车等加工表面.李成贵［9］立足于加工表面的轮廓谱矩和表面谱矩特性，使用W－M函数计算了各向异性表面的三维形貌的等方性参数，拓展了分形研究的思路，并给出材料实例：精车加工表面形貌不具有等方性，平面磨削工件形貌具有等方性.以上学者的研究都指出表面轮廓分形维数D可有效地反映表面粗糙度，并在一定程度上克服了传统粗糙度参数尺度相关的不足.实际上，加工表面的分形特征在每个区域都是不一样的，使用一个分形维数去反映整个表面的特征是有缺陷的.研究加工表面分形特征的分布，即进行多重分形谱分析，是全面评价加工表面特征的有效工具，对于多重分形谱的计算，小波分析是常用的计算工具［10］.

本文测量碳纤维复合材料的加工表面形貌，使用小波分析方法得到其多重分形谱，以反映加工表面各个局部的特征.

1 小波分析计算材料表面多重分形谱的算法

寻找多分形信号的奇异性分布对于分析信号的性质是至关重要的.设Sα是使分形信号f在其上正则性为α的Lipschitz常数的所有点t∈R的集合.f的多重分形谱（也叫奇异谱）D（α）定义为Sα的分形维数，其首先由Frisch等［11］引入并用来分析多分形测度的齐次性，这种测度用来作为水流能量耗散性的模型.而后，Muzy等［12］将其推广到多分形信号.分形维数的定义表明，如果用大小为s的互不相交的区间来覆盖f的支集，则与Sα相交的区间个数满足

多重分形谱给出了在任意尺度s下正则性为α的Lipschitz常数的奇异性的比例.设ψ是具有n阶消失矩的小波，Mallat等［13］证明了如果信号f在点v具有点态正则性为α0的Lipschitz常数小于n，则小波变换Wf（u，s）有一列模极大在细尺度下收敛于v.因而，尺度为s时的极大集合可以理解为用尺度为s的小波对f的奇异支集所作的一个覆盖.在这些极大点，有

设｛（u p，s）｝p∈Z＋是｜Wf（u，s）｜在给定尺度s下的所有局部极大点的集合.分解函数Z度量了这些小波模极大的q次方之和：

对任意q∈R，尺度指数τ（q）测量了Z（q，s）随尺度s的渐近衰减性：

由Bacry等［14］提出的说明τ（q）与D（α）的Legendre变化之间的关系公式为

下面是多重分形谱D（α）的计算过程.

（1）极大：对每一个尺度s计算出Wf（u，s）及其模极大，随s的变化链接小波极大.

（2）分解函数：计算式（3）.

（3）尺度：利用log2Z（s，q）作为log2s的线性关系来计算，即

（4）谱：计算式（5）.

在信号是二维的情况下，则u变成一个二维向量，第二步求最大值的范围就是从一个二维小波变换后的小波系数中求最大值，其他的步骤相同.

2 利用多重分形谱评定碳纤维复合材料加工表面特征

2.1 碳纤维复合材料加工表面的多重分形谱计算

实验样品的材料为碳纤维复合材料，三向正交结构，碳纤维体积含量为40%～50%，采用铣削加工，尺寸是20 mm×20 mm×10 mm，转速S、切削深度ap和进给量F如表1所示，其中切削深度是变化的.样品测试条件：采样速度5 500μm／s，采样范围8 mm×8 mm，采样间距5μm.刀具采用PVD铣刀.表面形貌由TalyScan 150测量仪测量，材料样品和测量仪如图1所示.当切削深度为1.0 mm时，其测量结果如图2所示，使用前面所介绍的方法用小波分析算出其多重分形谱.多重分形谱中的参数关系α－q、D（α）－q以及D（α）－α如图3所示.

表1 加工碳纤维复合材料的切削参数Tab.1 CuttingparametersofCFRPinmilling

图1 碳纤维复合材料样本和TalyScan 150测量仪Fig.1 CFRP workpiece and TalyScan 150 measurement instrument

图2 碳纤维复合材料三维表面形貌Fig.2 3D morphology of CFRP

材料表面的多重分形谱将信号以正则性为α的Lipschitz常数分类.定义α的范围：

多重分形谱的Δα反映了加工表面的高低分布，即反映了加工表面粗糙度.定义多重分形谱的谱差为

其反映加工表面的波峰和波谷的概率分布.ΔD＜0时，多重分形谱为右钩状态，表明加工表面波峰所占概率大；当ΔD＞0时，多重分形谱为左钩状态，表明加工表面出现的波谷所占概率大；当ΔD＝0时，表明加工表面出现的波峰和波谷的概率相等.

图3 多重分形谱中的参数关系Fig.3 The relationships of the parameters in the multifractals spectrum

2.2 多重分形谱的参数特征评定碳纤维复合材料的表面特征结果

使用表1中的加工参数，切削深度是1.0 mm除外，加工出来的碳纤维复合材料表面形貌如图4所示.按照上述多重分形谱算法，编制计算机程序得到的多重分形谱图如图5所示，计算得到的多重分形谱参数列于表2中.

图4 不同加工参数下的碳纤维复合材料工件表面形貌Fig.4 Surface morphology of CFRP workpiece in different machining parameters

图5 不同加工参数下碳纤维复合材料工件表面的多重分形谱图Fig.5 The multifractal spectrum images of the CFRP workpiece surface in different machining parameters

表2 不同加工参数下碳纤维复合材料工件表面的多重分形谱特征参数Tab.2 The multifractal spectrum characteristic parameters of the CFRP workpiece surface in different machining parameters

如图5所示，多重分形谱都是右钩状态，多重分形谱参数ΔD都小于0.从表2可以看出，最小的Δα是ap＝0.3 mm时，说明表面最光滑，相应的ΔD是－0.158 3，其绝对值是最小的，说明其加工表面的波峰和波谷的概率分布趋于相等；最大的Δα是ap＝0.5 mm时，说明表面最粗糙.最小的ΔD是－0.814 0，出现在ap＝0.8 mm时，说明加工表面出现的波峰比其他的加工表面多，由于谱差ΔD＜0，说明其加工表面仍然是加工的波峰比波谷多.总之，所有加工表面的多重分形谱图都呈右钩形状，加工表面局部区域出现的波峰较尖锐，说明碳纤维复合材料加工表面经常出现纤维断裂、纤维撕裂等纤维突出基体的现象.

为了对比多重分形谱的评定结果，使用3D幅度和空间形貌参数Sq和Sal对图4所示的形貌图进行评定.Sq定义为

式中：M、N是采样点数，η（x i，y j）是采样点相对于基准面的高度.

Sal是表面自相关性的衰减速率，表征表面组成成分.Sal大说明表面主要是由长波成分构成，Sal小说明表面主要是由短波成分构成，结果如表3所示.通过多重分形谱分析得到，最光滑的表面是对应于ap＝0.3 mm的图4（c），其对应的幅度粗糙度评定参数Sq也是最小的；最粗糙的表面是对应于ap＝0.5 mm的图4（e），其对应的幅度粗糙度评定参数Sq也是最大的.最大的Sal出现在图4（f）中，其表面的波峰也是所有表面中最多的，这也与多重分形谱中的分析相一致.

表3 不同加工参数下碳纤维复合材料工件表面粗糙度值的3D幅度和空间参数Tab.3 3D amplitude and space parameters of the CFRP workpiece surface roughness in different machining parameters

3 结 论

碳纤维复合材料加工表面具各向异性的特征，采用多重分形谱分析其加工表面的特征，不仅可以表征整个表面的特征，还可以表征材料表面的局部特征.

由三维表面测量仪测量碳纤维复合材料的加工表面微观形貌图，利用小波分析计算出它的多重分形谱来研究其表面形貌.分析结果表明：多重分形谱的参数α、Δα、ΔD都与加工表面的形貌有着紧密的联系.其中，Δα可以表征加工表面的粗糙度，ΔD的正负性说明加工表面出现波峰和波谷的概率，其绝对值反映加工表面的垂直高度差.多重分形谱三维表面评定方法不但可以描述加工表面整体的特征，还能描述其局部形貌特征.通过对多重分形谱表征的结果和三维评定参数评定结果的比较，证明了多重分形谱分析材料表面特征的正确性.

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