●罗增儒 (陕西师范大学数学系 陕西西安 710062)

一道2010年中考题的教学分析

●罗增儒 (陕西师范大学数学系 陕西西安 710062)

这是一道对初中生来说难度很大的问题．据测试，大约300人中只有9人做对，初中教师做对的概率也很低(有人怀疑超纲)．本文想以此作为解题教学的示例，分4个步骤讲解如下．

题目水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道的外部．若要使带子全部包住管道且不重叠(不考虑管道2端的情况)，需计算带子的缠绕角度α(α指缠绕中将部分带子拉成图1所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分)．若带子宽度为1，水管直径为2，则 α的余弦值为 ＿＿．

图1

(2010年浙江省绍兴市数学中考试题)

1 理解题意

包括3项基本工作:

(1)条件是什么?一共有几个?其数学含义如何?

条件有4个:

①以水管及附图为载体给出一个圆柱，从而圆柱的所有性质可视为已知．

②圆柱(水管)的底面直径为2，从而底面及水平截面圆的周长、面积等可视为已知．

③以带子缠绕管道为载体给出圆柱侧面的一个斜长条图形覆盖，斜长条图形展平时底边与母线的夹角为α．

④带子宽度为1，即2条平行线间的距离为1．但带子宽度应在什么地方出现呢?文中没有明确的交待．

(2)结论是什么?一共有几个?其数学含义如何?

结论有1个:求角α的余弦值．

(3)条件与结论有什么初步联系?

①结论所需要的直角三角形应该在条件③的斜长条图形的展开图中．而为了得出展开图，需要用到条件①中圆柱的性质，结合本例有:

1°圆柱……