杨俊秀,赵文来,夏海霞

(浙江理工大学信息电子学院,浙江杭州 310018）

达朗贝尔方程及其解教学思考

杨俊秀,赵文来,夏海霞

(浙江理工大学信息电子学院,浙江杭州 310018）

达朗贝尔方程及对应推迟位的解是研究电磁辐射的重要理论基础。因此导出推迟位表达式具有重要意义。而电磁场相关的教材通常都是由方程直接给出达朗贝尔方程的解,即推迟位表达式,缺少推算过程及对结果的举例分析。本文利用半经验公式,即先猜测后验证的方法给出其表达式,并阐明其物理意义,实践证明教学效果有所改善。

矢量场;达朗贝尔方程;推迟位;麦克斯韦方程组

以麦克斯韦方程组为基本出发点的“工程电磁场理论”是一门难学难教的课程。授课中,如果我们从物理或实例上解释场的概念,对场与波的关系多进行逻辑推理与归纳,教学效果会有所改善。

本文从达朗贝尔方程出发,通过先猜测后验证的方法给出其推迟位的解,并阐明其物理意义[1]。

1 达朗贝尔方程

电磁场理论面临的第一类问题就是已知场源求场的分布。此时从麦克斯韦方程组出发,当一次场源电荷密度及电流密度已知,将麦克斯韦方程组第一第二方程分别取旋度,并将第三第四方程引入,再采入矢量恒等式可得电场 E及磁场 H应满足的方程为

上面两式称为有源区域的非齐次矢量波动方程,理论上可由此得到电场 E及磁场 H。当外加场源以复杂形式出现在方程右端,直接求解式(1)和式(2)相当困难。为使问题简化,可引入位函数:即矢量位及电位φm。引用现将式(1)和式(2)变为的方程:

上两式称为达朗贝尔方程,求解达朗贝尔方程是研究电磁辐射问题的重要理论基础[2]。直接求解式(5)和式(6)需要较多的数学知识。我们在此处采用先猜测后验证的方法给出其方程解,即推迟位解,并阐明其物理意义。

2 推迟位解及其物理意义

2.1 达朗贝尔方程的通解

因为式(5)和式(6)结构相似,求解 A及φm可转化为解标量方程式(6)。先分析位于坐标原点的一个随时间变化的点电荷q(t)激发的标量位φm,显然除原点外,标量电位φm满足齐次波动方程:

因q(t)激发的场具有球对称性,相应标量位φm与坐标θ, 无关,仅是r与t的函数,即 φm=φm(r,t)。式(7)在球坐标系下展开为

上式是关于(φmr)的一维波动方程,其中v2=1/με,通解为式中,f1和 f2是具有二阶连续偏导的任意函数,只需包含变量因子(t-r/v)或(t+r/v)[3,4]。下面验证满足式(9)的 f1和 f2是式(8)的解,先设 φm r=f1(t-r/v),代人式(8)得

同理,可证φm r=f2(t+r/v)也是式(8)的解,因此f1(t-r/v)+f2(t+r/v)也是式(8)的解。

2.2 通解的物理意义

式(9)中对于 f1(t-r/v),若时间由t增加到t+Δt,空间坐标由 r增加到r+vΔt,则 f1[t+Δt-(r+vΔt)/v]=f1(t+Δt-r/v-Δt)=f1(t-r/v),时刻t的空间距离原点为r处的标量位φm=f1(tr/v),经过时间Δt后标量位出现在比r远一个距离vΔt处。这意味着 f1(t-r/v)是从原点出发,以v速度向+r方向行进的波,称为入射波。且传播介质为自由空间时,位函数向前传播的速度为v= 1/με≈3×108m/s,约等于光速,该结论同时推翻了超距作用观点。麦克斯韦曾根据波动速度约等于光速,在光的波动说或粒子说争论不休时,用数学思维来支持波动说[5]。

相应的 f2(t+r/v)是从远处出发,以速度v向原点方向行进的波,称为反射波。当空间无障碍物,即均匀介质空间为无限大时,f2(t+r/v)=0。

2.3 推迟位的具体表达

静态标量电位函数 φ=q/4πεr,当电荷随时间变化,达朗贝尔的通解位函数中要出现(t-r/v)因子,且只能出现在分子q中,故处于原点的时变点电荷q(t)的动态标量位为φm=q(t-r/v)/4πεr,当电荷不位于原点时,只需修正上式为式中,r′为坐标原点不在源点时,源的位置函数。

对于坐标原点不在源点时,体积V′中的任意体电荷分布ρ(r′),仍可以按照先微元化然后再叠加即积分求出标量位函数:

同理,可求得体积V′中的任意体积电流J(r′)对应的矢量位函数

式(11)和式(12)称为达朗贝尔方程的解,表明空间某点在时刻 t的标量位或矢量位必须根据(t-|r-r′|/v)时刻的场源分布函数求解,即时刻t的空间场中某点r处的动态位及对应场量,并不决定于该时刻激励源的分布,而是取决于在此之前的(t-|r-r′|/v)时刻源的情况。表明激励源在时刻t的作用要经过一个推迟时间(|r-r′|/v)才能到达距离它为|r-r′|的位置,这一时间正好是传递电磁作用所需的时间。空间的动态位 A和φ随时间的变化总是滞后于场源的变化,故称为推迟位[4-6]。

有了动态位 A和φ的表达,根据位函数的定义可知相应的时变电场及时变磁场分别为

至此,达朗贝尔方程及其推迟位解已经呈现出来。若该知识点讲到此为止,学生对其推迟的效果可能理解还不够,可以进一步举例说明。

[例]自由空间坐标原点有一激励源,且有

试分析在空间距离为r=3×108m处的标量位的表达式。

解:根据式(10)所示的动态标量位公式,可知在r=3×108m处其对应表达,即

由题意可知,t∈[0,1],q(t)有值,对照上式即得(t-1)∈ [0,1],φm有值,即

上式表明,在[0,1]时段激励源释放能量,r=3×108m处[1,2]时段有场量,即场量从场源传到该处需要1秒时间,正好是有限的能量传播速度;1秒后激励源撤去,空间的场依然存在;1到2秒时从r=3×108m处经过,2秒过后r=3×108m的场量为零,激励源曾经释放出来的能量向更远的空间传播。经过分析,可以加深推迟效应的印象,且给“场可以脱离场源单独存在”这句话找到依据。

3 推迟位的复数形式

对于正弦电磁场,达朗贝尔方程的复数形式为

其中,β2=ω2με为相位常数。方程的标量位及矢量位解的复数形式分别为[4]

此处,我们可以引导学生对照式(11)和式(12),由于时域中的时间延迟因子而且。对应的频域中应当出现相位滞后因子:

式(16)和式(17)频域中出现相位滞后因子e-jβ|r-r′|,印证时域中时间延迟对应于频域中相位滞后的结论 。正是有了相位滞后因子e-jβ|r-r′|,使得电磁辐射成为可能,具体表达参考相关文献。

4 结语

本文从达朗贝尔方程出发,通过先猜测后验证的方法给出其推迟位的解,并阐明其物理意义。我们在教学中通过对场与波的关系进行逻辑推理与归纳,类似的知识点通过不断总结积累,使教学效果从学生评教最初的中等上升到良好,甚至优秀。

[1] 刘涵哲.赫兹阵子势方程的求解[J].昆明:云南民族大学学报.2010,19(1).49-51

[2] 胡文静.用重傅氏积分变换法求解达朗贝尔方程[J].哈尔滨:哈尔滨理工大学学报.2002,7(5).108-114

[3] 倪光正.工程电磁场理论[M].杭州:浙江大学出版社,2004

[4] 冯慈璋,马西奎.工程电磁场导论[M].北京:高等教育出版社,2003

[5] FawwazT.U lab,应用电磁学基础[M],尹华杰译.北京:人民邮电出版社,2007

[6] William H.Hayt,Jr,John A.Bu ck.Engineering Electromagnetics[M].北京:机械工业出版社,2002

Consideration of Teaching on D'A lembert Equationsand Its Solution

YANG Jun-xiu,ZHAOWen-lai,XIA Hai-xia

(Schoolo f In formatics and E lectronics,Zhejiang Sci-Tech University,H angzhou 310018,China)

D'A lembert differential equations and its solution are important theory about electromagnetic radiation,so it is necessary to give hysteresis exp ression and its effect.Usually,D'A lembert differential equations is presented firstly in teachingm aterial,its solution and expression secondly,and there is lack of concretely calculating process and examp le analysis.On the basis of half-experience form ula,D'A lem bert differential equations and its so lution are given step by step,including its physicalmeaning in this paper.Practices show that these processes enhance the quality of teaching and obtain satisfied teaching effects partly.

vector field;D'A lembert equations;hysteresis expression;M axwellequations

G420

A

1008-0686(2011)02-0113-03

2010-07-28;

2010-11-29

杨俊秀(1976-),女,硕士,讲师,主要从事电磁场、高频电路方面的教学研究,E-mail:yangjunxiu@126.com