罗 宏

(四川师范大学数学与软件科学学院,中国 成都 610066)

本文作者研究了具有周期边界条件的Nonlocal Kuramoto-Sivashinsky方程:

(1)

uxj(x,t) =uxj(x+l,t),j=1,2,3,4,t∈R+,

(2)

u(x,0) =u0(x),u0(x) =u0(x+l),

(3)

其中, 0<γ<1,α>0,

(4)

它描述了混合气体燃烧过程中火焰是如何随时间演变的, 所以讨论方程(1)～(4)的解的性态具有重要意义. 文[1～2]研究了这类方程解的先验估计以及整体吸引子和惯性集的存在性, 文[3]讨论了该方程数值解法.

在无穷维动力系统研究中, 方程解的长时间性态是一个重要问题, 备受关注. 通常,方程解的长时间性态由具有有限维特征的全局吸引子所表现[4-5]. 然而, 对于一般情形, 研究全局吸引子是相当困难的. 因而, 人们想到借助其他的东西来代替全局吸引子. 1985年和1987年, G. Foias等[6-7]先后提出了惯性流形和近似惯性流形, 但是它们在研究中存在很大的局限性.文献[8]提出了有限维渐近吸引子的概念, 构造了Kuramoto-Sivashinsky方程的渐近吸引子,证明了所得的系统与原系统等价.

对一个发展系统

ut+Au=f(u)

(5)

来说, 记其相空间为H, 解算子半群为{S(t),t≥0}, 吸收集为. 假设对任意u0∈, 存在N维子空间中的近似解序列{uk(t)},k≥1,满足

‖uk(t)-S(t)u0‖H→0,k→+∞,t≥t*().

本文在文献[1～3, 8～10]的基础上讨论了Nonlocal Kuramoto-Sivashinsky方程周期边值问题(1)～(4)解的长时间性态,构造了方程的渐近吸引子.

为了方便讨论, 设v=ux, 则方程(1)～(4)可以化为下列形式

vt=-vxxxx-vxx-vvx+γJ(v)-αxvx-2αv,(x,t)∈R×R+,

(6)

vxj(x,t)=vxj(x+l,t),j=0,1,2,3,t∈R+,

(7)

v(x,0)=v0(x),v0(x)=v0(x+l),

(8)

其中

(9)

1 预备知识与解序列的构造

pt+pxxxx+pxx+PN(vvx)-γJ(p)+αxpx+2αp=0,

qt+qxxxx+qxx+QN(vvx)-γJ(q)+αxqx+2αq=0.

(10)

对任意初值v0(x)∈,按如下方式构造渐近解序列

(11)

(12)

2 逼近性证明

下面将考虑渐近解序列vk(x,t)对真实解v(x,t)的逼近性.首先证明，对任意v0∈,上述所得的解序列不会远离吸收集.

定理1设v(t)是对应于初值v0∈的方程(6)～(9)的解，qk(k=0,1,2,…)按(11)，(12)给出，则存在自然数N0和t1(),使得当N≥N0时，有

(13)

证由吸收集的正不变性，v0∈可以得出v(t)∈,t≥0,从而，‖p‖≤ρ0,‖px‖≤ρ1.为了证明(13)式，只须证明

(14)

即可.下面用数学归纳法证明(14)成立.

在(11)两边乘以q0,在[0，l]上积分，得

故

从而

即

在(0，t)上积分，得

‖q0‖≤ρ0,t≥t11.

(15)

(16)

(15)，(16)证明了(14)在k=0时成立.

现假设(14)对k-1成立，在(12)两边乘以qk,在[0，l]上积分，得

故，

从而

则有

即

在(0,t)上积分，得

(17)

则

‖qk‖≤ρ0,t≥t13.

(18)

(19)

则

(20)

由(18)和(20)式可知(14)式对k成立.由数学归纳法原理知，当N0取满足(17)，(19)的最小自然数，t1()=max{t11,t12,t13,t14},(14)式对一切自然数k成立，则该定理得证.

下面证明qk收敛于q.

定理2设v(t)是对应于初值v0∈的方程(6)～(9)的解，qk(k=0,1,2,…)按式(11)，(12)给出，则存在自然数N1和t2(),使得当N≥N1时，有)，其中，N1为满足

(21)

的最小自然数.

证记ωk=qk-q,k=1,2,…,由(10)和(12)得

所以

故

从而

所以

(22)

在(22)中，令k=1,则有t21>0,使得

(23)

在(22)中使用数学归纳法易得，存在t2k>0,k=1,2,…,使得

(24)

由(23)，(24)可知，取N1为满足

的最小自然数.则该定理得证.

上述两定理证明了渐近解序列对真解的逼近性，而且渐近吸引子的维数，就是渐近解序列的维数，为满足(17)，(19)，(21)的最小自然数，即，

参考文献：

[1] HILHORST D, PELETIER L A, ROTARIU A I. Global attractor and inertial sets for a Nonlocal Kuramoto-Sivashinsky equation [J]. Disc Cont Dyna Sys, 2004, 10(1,2): 557-580.

[2] 童筱青, 向新民. 非局部Kuramoto-Sivashinsky方程整体吸引子的维数估计[J]. 应用数学学报, 2009, 32(5): 881-893.

[3] 童筱青, 周 婷, 向新民. 非局部Kuramoto-Sivashinsky方程谱逼近的大时间性态[J]. 高等学校计算数学学报, 2005, 27: 259-264.

[4] TEMAM R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics[M].2nd ed. Berlin：Springer-Verlag, 1997.

[5] 郭柏灵. 无穷维动力系统[M]. 北京: 国防工业出版社, 2000.

[6] FOIAS G, SELL G R, TEMAM R. Varites inertilles des equations differentielles dissipatives[J]. C R Acad Sci Paris Ser I Math, 1985, 301: 139-142.

[7] FOIAS G, MANLEY O, TEMAN R. Sur linteraction des petits et grands tourbillon’s dans les ecoulements turbulents[J]. C R Acad Sci Paris Ser I Math, 1987, 305: 497-500.

[8] 王冠香, 刘曾荣. Kuramoto-Sivashinsky方程的渐近吸引子[J]. 应用数学学报, 2000,23(3): 329-336.

[9] 罗 宏, 蒲志林, 马丽蓉. 耗散KDV型方程的渐近吸引子[J]. 四川大学学报:自然科学版，2009,46(6):1 709-1 713.

[10] 何素芳,朱朝生.推广的B-BBM方程的渐近吸引子[J]. 四川师范大学学报:自然科学版,2007,30(1):49-52.