严 彬

(仰恩大学数学系,福建 泉州 650093)

用一题多解提高学生的分析能力＊

严 彬

(仰恩大学数学系,福建 泉州 650093)

一题多解在极限的计算过程中的作用为:加深学生对基本概念、定理的理解和掌握,开拓学生的解题思路,打破思维定势,提高学生分析能力.

极限;洛必达法则;一题多解

极限是高等数学的基础概念,是其他概念定义的基石,如何求极限是极限教学中的重点,对于函数求极限的方法有多种,学生往往较难掌握.在教学过程中应该针对一些典型例题讲深讲透.通过一题多解的例子,不仅做到开阔了学生的解题思路,训练了学生多向思维的能力,还增加了学生学习的趣味性.

请看下面的例题:

例 1求极限

解法二:利用等价无穷小量代换

∵当 x→0时,ex-1等价于 x.

∴ex-tanx-1等价于 x-tanx(x-tanx→0).

解法三:利用拉格朗日中值定理[2]

设 f(x)=ex,则由拉格朗日中值定理有:∃ξ∈ (x,tanx),使得

比较可知,解法一比较繁琐,解法二学生比较容易想到且做法较为简单,解法三比较巧妙但学生一般难于想到.

例 2求极限

解法一:先求和,再运用洛必达法则:

解法二:利用定积分定义,只要所求极限为和式结构:某段区间上 n等分的小区间上任意一点的函数值与小区间长度的乘积之和,可转化为定积分求解.

显然第一种解法很简便,而通过第二种解法,对定积分概念有了更深刻的理解,让学生通过知识之间的内在联系达到触类旁通,提高学生分析问题和解决问题的能力.

一个习题用多种方法解决,使学生尽可能周全地从各个方面来考虑和思考同一个问题.课本对计算极限提供了多种计算方法,例如:利用极限定义;极限的一些基本性质;函数极限与数列极限的关系;利用等价无穷小量代换;极限的运算法则;极限的复合运算法则;函数的连续性;夹逼准则;导数定义;洛必达法则;利用拉格朗日中值定理;一些已知极限等等.一题多解的可能性来源于能直接或间接的利用上述多种工具的条件.

当然不是每道题都有多种解法,一题多解是手段不是目的.应注意到有些题目不满足应用上述某种工具的条件,如:

例3

错解:直接利用等价无穷小量代换

正确解法:

不能用等价无穷小量代换的原因是:等价无穷小量代换只能用于乘除运算,对加、减项的无穷小量不能随意代换.

例4

错解:符合洛必达法则的应用条件

仍是不等式,再应用洛必达法则则又恢复到原来的比式,无法得到最终结果.

正确解法:无穷小因子分出法

学生学完洛必达法则后往往认为符合条件的求极限问题都能用洛必达法则求解,通过这道例题,可以打破固定的思维模式,有助于学生加强对洛必达法则的理解和掌握,提高应用能力.

求极限时往往要将高等数学中的一些概念和各种求极限的方法融合在内,而通过一题多解的例子,让学生在学习并应用方法求极限的同时,又将以前所学的知识进行回顾,并让学生能熟记重要公式.在解题时应注重培养学生“一题多解”的思维方式,开拓学生的解题思路,打破固定的思维模式,探索解题技巧,训练解题的灵活性,增强解题能力.让学生能够主动去想以及敢想,还要增加他们学习的兴趣,增加他们理解并掌握方法的信心.

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (第 2版)[M].北京:高等教育出版社,1991.

O13

A

1008-4681(2010)02-0103-02

2010-02-24;

2010-03-05

严彬 (1983-),女,福建莆田人,仰恩大学数学系助教,硕士.研究方向:动力系统 -分支与混沌.

(责任编校:简子)