潘全香,张万琴

一类局部共形近余辛流形的卷积子流形

潘全香,张万琴

(河南科技学院数学系,河南新乡453003)

讨论了具有常φ-截面曲率c的局部共形近余辛流形的卷积子流形,得到了其上平均曲率模长‖H‖和卷积函数f的新的关系式,改进了已有的一些结论.

常φ-截面曲率;局部共形近余辛流形;卷积子流形

B.Y.Chen在文献[1]考虑实空间形式中的等距浸入卷积子流形,得到了其平均曲率模长‖H‖和卷积函数f的一个关系式.

定理1 设φ:(M1×fM2)→～M(c)是具有常φ-截面曲率c的黎曼流形的卷积子流形,则有

其中ni=dimMi,i=1,2,Δ是(M1,g1)的Laplace算子.

接着,B.Y.Chen在文献[2]和[3]中得到复双曲空间和复射影空间形式中的类似结论.

随后,D.W.Yoon在文献[4]中考察具有常φ-截面曲率c的余辛空间形式的情形,得到了

定理2 设(～M(c),g;φ,ξ,η)是具有常φ-截面曲率c的余辛空间形式,(M1×fM2,g1+f2g2)是流形～M (c)中的等距浸入,而且结构向量场ξ与M1相切,则

其中ni=dimMi,i=1,2,Δ是(M1,g1)的Laplace算子.

最近,B.Y.Chen和S.W.Wei在文献[5]中研究了卷积流形I×fSm-1(k),分别得到了平行的曲率不变的全脐子流形和具有常曲率的超曲面的分类定理.

本文考虑ξ是具有常φ-截面曲率c的局部共形近余辛流形及流形的卷积子流形(M1×fM2,g1+f2g2)的法向量场的情况,得到了

定理3 设(～M(c),g;φ,ξ,η)是2m+1维的具有常φ-截面曲率c的局部共形近余辛流形,(M1×fM2, g1+f2g2)是流形～M(c)中的n维卷积子流形,而且结构向量场ξ是(M1×fM2)是法向量场,则

其中ni=dimMi,i=1,2,Δ是(M1,g1)的Laplace算子,β∈C∞(～M(c)).

1 预备知识

定义1 设(M1,g1),(M2,g2)的维数分别为n1,n2的黎曼流形,f是(M1,g1)上的正值函数,则称积流形(M1×fM2,g1+f2g2)为卷积(M1×fM2).

定义2 设(M×M)是M～(c)等距浸入子流形,记h为M～的第二基本形式,H=trh,其中trh是trh

1f2iii在Mi上的限制.如果对任意与M1相切的X和任意与M2相切的Y,都有h(X,Y)=0成立,则称(M1×fM2)为混合全测地的子流形.

定义3 设(～M,g;φ,ξ,η)是近切触度量流形.如果～M上存在1-形式ω得使dΦ=2ω Λ Φ,dη=ω Λ η,dω =0则称～M(c)为局部共形近余辛流形.

定义4 设Mn是～M2m+1的等距浸入子流形,h为Mn的第二基本形式.如果h长度的平方恒为零,即

其中hrij=hr(ei,ej)=g(h(ei,ej),er),i,j∈{1,…,n},r∈{n+1,…,2m+1},则称M是全测地的.

定义5 设φ是(～M,g)上的(1,1)型的光滑张量场,对～M上的任一点p,对任意的X∈TpM,记φX=TX+ NX,其中,TX,NX分别为φX的切分量和法分量.取单位正交的切标架场{e1,e2,…,en,en+1,…,e2m+1}使得{e1,e2,…,en}为M的切标架场,{en+1,…,e2m+1}为T⊥M的标架场.定义T的模长为

如果T恒等于零,流形M就称为全实子流形.

为证明定理3,还需如下引理

引理1[6]设a1,…,an,an+1是n+1个实数,满足:

则2a1a2≥an+1,等号成立当且仅当a1+a2=a3=…=an.

2 定理3的证明

定理3的证明 由于(M1×fM2)是流形～M(c)中的n维卷积子流形,则由卷积流形的定义可以得到

对任意与M1相切的X和任意与M2相切的Z.

如果X,Z是单位切向量场,则由X,Z张成的二维截面的截面曲率K(X∧Z)为

取定局部单位正交的标架场{e1,…,en,en+1,…,e2m+1},使得{e1,…,en1}和M1相切,{en1+1,…,en}和M2相切,en+1和H平行,e2m+1=ξ.则对任意的r∈{en1+1,…,en},由(2)式知

由Guass方程

得到:

若设

则(4)式就变成

在上述所选定的标架场下,(6)式就变成

上式又可变形为

这里

再由引理1和(8)式,就有2a1a2≥b,其中等号成立当且仅当a1+a2=a3.此时有

这里等号成立当且仅当

利用高斯方程,再结合(4)式可以得到

其中

由(9)式和(11)式可得

将(5)式代入(12)式,整理得

证毕.

因为β-kenmtsu流形是局部共形近余辛流形的特殊情形,上述定理的结论对β-kenmtsu流形同样成立.

推论1 设(～M(c),g;φ,ξ,η)是2m+1维具有常φ-截面曲率c的局部共形近余辛流形,(M1×fM2,g1+ f2g2)是流形～M(c)中的n维全实子流形,而且结构向量场ξ是(M1×fM2)的法向量场,则

其中ni=di mMi,i=1,2,Δ是(M1,g1)的Laplace算子,β∈C∞(～M(c)).而且等式成立当且仅当M1×fM2是混合全测地子流形,并且n1H1=n2H2.

证明 由(5)式和定义5,再结合定理3的证明过程,易知

而且(13)中等号成立当且仅当

和

很明显,(14)式等价于积流形(M1×fM2)是混合全测地的,(10)式和(15)式暗示了n1H1=n2H2.证毕.

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[7] 白正国,沈一兵,水乃翔,郭孝英.黎曼几何初步[M].北京:高等教育出版社,2004.

Warped Product Subman ifold of A Locally Conformal Almost CosymplecticMan ifold

PAN Quan-xiang,ZHANGWan-qin
(College ofM athematics,Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang453003,China)

some new results are obtained on warped product submanifold of locally conformal al most cosymplectic manifold of constantφ-sectional curvaturec.It is a generalization of some existing results.

constantφ-sectional curvatrue;locally conformal al most cosymplectic manifold;warped product submanifold

O186

A

0253-2395(2010)04-0496-04

2009-09-05;

2010-01-15

河南省教育厅项目(2010B110011)

潘全香(1980-),女,河南浚县人,硕士,助教,主要从事微分几何研究.E-mail:pangguanxiang1980@163.com