高文安

相对论性电子在磁镜中的运动规律与特征

高文安

(山西建筑职业技术学院,山西太原030006)

基于非相对论性电子在磁镜中的运动,通过估计电子的电磁辐射所带来的辐阻尼力的影响,对相对论性电子在磁镜中的运动进行修正,从而得到在磁镜中相对论性电子的运动规律,并讨论了磁镜中相对论性电子的运动特征.

磁镜;电磁辐射;电磁阻尼

0 引言

磁镜是一种具有旋转对称特征的梯度磁场,沿着对称轴,磁感应强度具有“强-弱-强”的分布.磁镜通过带电粒子在缓变磁场中的磁矩守恒效应来约束等离子体,在受控热核聚变中有重要的应用.带电粒子一旦进入磁镜,(一定条件下)就在磁镜的两个强极之间往返运动,通常称之为磁镜约束.在受控热核反应的实验研究中,磁镜捕获已成为约束等离子体的重要方法[1,2]磁镜场在约束利用低能非中性等离子体产生的反氢原子[3-5]以及利用等离子体增强化学气相沉积薄膜[6]的技术方面有广泛应用.地磁场就是一个自然的磁镜,宇宙射线一旦射入,就会在磁镜的两极来回反射,形成一个辐射带,称为范阿伦辐射带.该辐射带的基本形态分为两部分:内辐射带和外辐射带.内辐射带大约1～2个地球半径之间,电子在内辐射带的能量可以达30兆电子伏特,在这种情况下,带电粒子在磁镜中的运动必须考虑其相对论效应.

要得出带电粒子在磁镜场中的严格运动方程的解会遇到数学上的困难,因此,对磁场的参数加以限制是必要的,在讨论磁镜的标准做法中,往往假设磁感应强度在带电粒子的一个回转过程中的变化可以忽略,即磁感应强度的梯度足够小,事实证明实际情况也是如此.在经典情形(低速)下,电子的动能守恒,因而电子的磁矩μ是寝渐不变量.但在相对论的情形下并非如此,所谓寝渐不变量,是指那些在磁场随时间或空间缓慢变化过程中近似为常数的那些物理量.经典粒子在磁镜中运动的特征有:(1)电子做螺旋线运动,(2)磁矩μ是寝渐不变量,(3)磁场的径向分量Br是小量,(4)磁镜比:R=BM/B0,入射角tanθ=v⊥/v∥(垂直于轴线的速率与平行与轴线的速率之比).如图1,当sinθ≥R时,粒子将反射.于是R(或θ=arcsinR)决定了速度空间中的逃逸锥(如图2),当粒子的合速度位于锥内时,粒子将穿过磁镜.

图1 入射角Fig.1 Incident angle

图2 逃逸锥Fig.2 Escape wimble

1 电子运动的经典近似方程

量子效应、相对论效应使得要得到相对论电子的严格的运动方程的解具有严重的数学困难.为此可以先求出经典电子运动方程的近似解[7],然后再考虑相对论效应,对电子的运动加以修正,从而了解相对论效应对电子运动的影响.

图3 电子入射初速度及磁场Fig.3 Incident velocity of electron and the magnetic field

设电子(如图3)在z=0处射入.在柱坐标系中,电子的初速度为v⇀0=v⊥0φ+v∥0^k;入射角为θ;由于Br为小量,所以磁场沿z轴方向的梯度为为了简化,设K为常数;z处的磁感应强度为B(z)≈(z)(即磁感应强度的径向分量为小量).t时刻的磁感应强度记为B(t),电子的磁矩为常量μ,电子的静质量为m0,t=0时,电子距z轴的距离为r(0).由于能量守恒和磁矩不变

所以Br(T)≈-Kr(t)/2.再利用轴向运动方程、磁矩不变方程和能量守恒可以得到粒子的运动方程

2 相对论效应对粒子运动的影响

在相对论情形,电子的质量增大且与速度有关,动力学方程需要修正.同时由于电子在磁场中做加速运动辐射的电磁场不可忽略,电子因辐射而受到额外的辐射阻尼力.由于电子的量子行为和相对论效应,电子的运动方程比较复杂,但我们可以通过电子的经典运动方程(4)-(7)来近似地得到电子的电磁辐射能量分布,进而来估计电子受到的辐射阻尼,从而修正电子的运动.

然后对各种速度的电子进行试探地计算,进而来决定辐射阻尼的影响大小,决定其能否忽略.下面用以上得到的“运动方程”来对电子的辐射来进行估计.电磁辐射的功率为

取β=0.8,t=1×10-9s,(此时v∥减为零所需的时间约为,并使用文献[8]中的磁镜参数得η=71.36.由此可见,加速度的方向主要在电子做螺旋运动的回转平面(垂直于z轴)内,所以加速度的方向与速度方向可以看成垂直,于是辐电磁辐射的功率简化为

由几何关系可以大致知道,θ减小时,φ增大,角分布中的分母上的5次项比分子更快地趋于零,所以,可以推断:最大值出现在速度方向.另外,在极端相对论的情形,对于固定的角度θ,当β→1时,(1-βcosβ)为一有限量,而(1-β2)则趋于零,所以辐射能量角分布中的分子上的项(1-β2)cos2θ可以忽略,于是辐射能量的角分布就仅与θ角有关,因而辐射能量的角分布具有关于速度方向的旋转对称性,此时辐射阻尼的方向显然应该与速度方向相反(否则会破坏对称性).基于以上考虑,可以认为,阻尼力的方向与速度的反向是适合的.于是其中负号表示力的方向与速度方向相反.取β=0.8代入,估算Freac的量级,Freac≈4×10-26N,而洛伦兹力f =evB≈7×10-13N.由此可见,辐射所造成的辐射阻尼与洛伦兹力相比是微不足道的,它并不会对粒子的运动产生很大影响,而且在相对论的情形,电子的速度很快,在磁镜中来回反射的周期很短,因而辐射阻尼对电子的动量的改变也是微不足道的,所以,能量守恒在相对论的情形下仍然近似成立,故方程(8)-(11)即为相对论情形下的近似的运动方程.

由此可见,电磁辐射对电子在磁镜场中运动的影响可以忽略,因而,在相对论的情形,唯一与经典情况不同的是质量的改变.此外,电子运动的回转半径和β的关系非常重要,因为过大的回转半径将使电子从磁镜的边侧逃逸.从(11)式可以得到

3 结论

根据经典情况下电子在磁镜中运动的近似方程,研究了相对论效应对磁镜中运动电子的影响.对电子的电磁辐射所带来的辐射阻尼力的影响进行了估计,得出了可以将其忽略的结论,于是在忽略辐射的前提下得出相对论情形的运动方程.但是在相对论的情形,由于质量变化所带来的一个影响——回转半径的增大,是不可忽略的,因此,要束缚超高能粒子必需使用大型磁镜.

[1] 姚若河,吴为敬,张晓东,等.磁镜场的约束中粒子运动的数值计算[J].真空科学与技术学报,2004,24(2):105.

[2] 刘 列,刘永贵,杨建坤.磁镜场约束等离子体的粒子模拟[J].国防科技大学学报,2001,23(3):21.

[3] ANDRESEN G,BERTSCHEW,BOSTON A,et al.Antimatter Plasmas in aMultipole Trap for Antihydrogen[J].Phys Rev Lett, 2007,98:023402.

[4] FAJANS J,BERTSCHEW,BURKE K,et al.Effects of Extreme Magnetic Quadrupole Fields on Penning Traps and the Consequences forAntihydrogen Trapping[J].Phys Rev Lett,2005,95:155001.

[5] H IGAKIH,FUKATA K,Ito K,OKAMOTO H,et al.Density and Potential ProfilesofNon-neutral electron Plas mas in aMagnetic Mirror Field[J].Phys Rev E,2010,81:16401.

[6] 刘洪祥,魏舍林,刘艳纽,等.弱磁场对Sn0薄膜性能的影响[J].功能材料,2001,32(6):603.

[7] 博伊德T J M,桑德森J J.等离子体动力学[M].戴世强,陆志云,译,北京:科学出版社,1977.

[8] BRURA J J,FESSENDEN T J.Trapping of High-Current Relativistic Electron Beams in a Magnetic Mirror Trap[J].Phys Rev Lett,1972,29:256.

M ovementLaw and Characteristic of a Relativistic Electron in a MagneticM irror

GAO Wen-an
(Shanxi A rchitectural Technical College,Taiyuan030006,China)

Based on the motion of a nonrelativistic electron in a magnetic mirror,we modify the motion of the relativistic electron in amagneticmirror by esti mating the effectof the radicalization damp on the electronmovment,which gives rise to the motion rule of the relativistic electron in a magnetic mirror,and discusses the motion characteristics of the electron in magnetic mirror.

magnetic mirror;electromagnetic radiation;electromagnetic damping

O412

A

0253-2395(2010)04-0556-04

2010-04-03;

2010-05-06

高文安(1955-),男,山西五台人,副教授,主要从事工业设备安装工程技术专业教学研究和教学管理工作.E-mail:gaowenan@126.com