张 金

(宿迁高等师范学校 数学系，江苏 宿迁 223800)

0 引言

凸函数是一重要的概念。 已有的文献中，在给定的区间I上，给出了凸函数多种不同形式的定义，并对定义之间等价性作了分析与证明，见文献[1]～[5]。 下文拟对一般区间I上的凸函数最基本的定义作一概述，进一步探讨与证明它们之间的等价性。

1 凸函数的基本定义

下面给出凸函数几种定义：

定义1 ：设函数f(x)在区间I上有定义，f(x)称为I上的凸函数，当且仅当：∀x1,x2∈I，有

(1)

定义2 ：设函数f(x)在区间I上有定义，f(x)称为I上的凸函数，当且仅当：∀x1,x2,…,xn∈I，有

(2)

定义3[6]：设函数f(x)在区间I上有定义，f(x)称为I上的凸函数，当且仅当：∀x1,x2∈I，∀λ∈(0,1)，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

(3)

(4)

定义5 ：设函数f(x)在区间I上有定义，f(x)称为I上的凸函数，当且仅当：

∀pi≥(i=1,2,…n)不全为零，∀x1,x2,…xn∈I，有

(5)

定义6 ：设函数f(x)在区间I上有定义，f(x)称为I上的凸函数，当且仅当：∀x1,x2,…xn∈I，且x1

(6)

定义7 ：设函数f(x)在区间I上有定义，f(x)称为I上的凸函数，当且仅当：∀x1,x2,…xn∈I，且x1

(7)

上述定义中的“≤”若改为“<”，则得f(x)为I上的严格凸函数。 区间I上可导或二阶可导的凸函数还可借助导数f′(x)的单调递增或f″(x)来判定或定义(见文献[1][2][3])，这一点本文不再赘述。

2 定义之间等价性的证明与探讨

首先给出几个定理：

定理1 ：定义1与定义2等价。

证明 ：“定义2⟹定义1”显然成立，在(2)式中令n=2即得(1)式。 只要证明：“定义1⟹定义2”。采用反向归纳法。

1)由(1)式知：当n=2时(2)式成立。 现证n=4时(2)式成立。 事实上，∀x1,x2,x3,x4,∈I，由(1)式有

此即(2)式当n=4时成立。 一般地，对任一正整数k，重复上面方法，应用(1)式k次，可知

这表明(2)式对一切n=2k皆成立。

此即(2)式对n=k也成立。 证毕。

下面给出关于凸函数的一个论断，以引理1命名：

引理1：若函数f(x)为区间I上的凸函数，则f(x)在I内部任意一点都连续。

定理2 ：定义3与定义1，2等价。

对于有理数λn∈(0,1)，利用上面证明有

f(λnx1+(1-λn)x2)≤λnf(x1)+(1-λn)f(x2)

此式中令n→∞取极限并联系上式，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

此即(3)式对任意无理数λ∈(0,1)也成立。 故定义1，2也蕴含定义3，证毕。

定理3 ：定义3与定义4，5等价。

证明 “定义4⟹定义3”只要在(4)式中令n=2即得。“定义3⟹定义4”采用数学归纳法可证(定义4即为“Jensen不等式”，证明见文献[6])。“定义4⟺定义5”明显，故定理3得证。

定理4：定义3与定义6，7等价。

f(λx3+(1-λ)x1)≤λf(x3)+(1-λ)f(x1)

即

此式化简变得(6)式，故“定义3⟹定义6”成立。 反之∀λ∈(0,1)，∀x1,x2∈I，，不妨设x1

3 结束语

由上述定理可知上文所给的凸函数几个基本定义是等价的， 区别仅是呈现的形式或各自的几何意义有所不同，但均是对凸函数本质的概述。 定义或概念是对事物本质属性的精确概括。 具体教学中，强调学生对概念的理解，目的就在于希望学生能够抓住事物的本质属性。 定义3更能体现凸函数的本质属性，其几何意义对凸函数描述很直观，现代数学中多采用这种定义。 值得一提的是，区间I上的凸函数的“凸”性仅由区间I内部函数的属性来体现，而与函数在区间端点的取值无关。 文中引理表明，在区间I内部凸函数是连续的，对应的曲线是连续曲线且呈“下凸”趋势。 同时也表明，凸函数的间断点只可能出现在区间的端点上。

[参考文献]

[1] 王飞.凸函数等价性讨论[J].广西师范学院学报：自然科学版，2003，20(1)：31-34.

[2] 赵丹.凸函数等义的等价性证明[J].乐山师范学院学报，2008，23(12)：18-21.

[3] 古小敏.对凸函数定义之间等价性的进一步研究[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2009，26(2)：171-173.

[4] 郭素霞.关于凸函数定义的讨论[J].衡水师专学报，2000，2(4)：49-52.

[5] 黄世团.几个凸函数定义的差异性及等价性[J].广西师院学报：自然科学版，1997，14(1)：54-56.

[6] 华东师范大学数学系. 数学分析：上册 [M].2版.北京：高等教育出版社，1991：197-203.