万冬梅 宋益荣

（商丘职业技术学院，河南商丘476000）

一类非线性抛物型方程解的熄灭

万冬梅 宋益荣

（商丘职业技术学院，河南商丘476000）

非线性抛物型方程解的一个重要性质就是解的熄灭现象。它在实际生活中有很广泛的应用。近年来人们利用能量估计法，上下解的方法对非线性抛物型方程的解的熄灭进行了大量的研究。在这里受文献的启发，采用能量估计的方法，讨论了一类抛物型方程初边值问题解的渐进性态，得到了解在有限时间内解熄灭的条件。在此基础上给出了解的能量估计。

非线性抛物型方程；熄灭；初边值问题

1 引言

非线性抛物型方程解的一个重要性质就是解的熄灭现象。有着广泛的物理背景。再热的传导，化学反应，生物的粘弹性的扩散等方面，有着广泛的应用。黄瑜等（2004）讨论了方程的初边值问题，对解熄灭的充分必要条件作了详细的讨论。闫莉等（2006）则对已有的结果进行了推广。受启发这里考虑以下初边值问题

其中Ω是N维欧氏空间RN中的有界光滑区域，边界记为坠Ω，λ，β，γ，P是正整数，初值u0（x）不恒为，△表示Laplace算子。本文用‖·‖q表示Lq（Ω）中的范数，|Ω|表示Ω的测度。

定义存在T0∈（0，∞），对问题（1）的解u（x，t）成立

则称解u（x，t）在有限时间内熄灭。本文的主要结果是：

2 定理的证明

证：在方程（1）的两边同时乘以u后在Ω上积分得

由Holder不等式

其中l>p+1待定。

由Gargliardo-Nirenderg不等式

有Young不等式和Sobolev嵌入不等式，有

其中

常数C与u（x，t）无关。为方便起见，我们把这类参数都以C表示。由Gargliardo-Nirenderg不等式可得

由Holder不等式，对ε>0，存在C1（ε）成立

其中

证毕。