王 超,周艳丽,陈英才

(台州学院物理系,浙江台州318000)

重力场中理想气体密度分布的Monte Carlo模拟

王 超,周艳丽,陈英才

(台州学院物理系,浙江台州318000)

利用Monte Carlo方法模拟了重力场中理想气体的密度分布,直观展现了重力场中气体分子位置的改变和分布特点,讨论了分子质量和系统温度对气体密度分布曲线以及重力势能零点处密度n0的影响.模拟结果与玻耳兹曼分布律完全吻合.另外,模拟结果表明玻耳兹曼分布律不仅对纯的理想气体成立,而且对混合理想气体中各成分气体也成立.

理想气体;密度分布;玻耳兹曼分布;Monte Carlo模拟

1 引 言

气体分子运动论是大学物理热学部分的重要知识,其中涉及玻耳兹曼分布律.考虑到玻耳兹曼分布律难于用实验验证,很多学校在讲授时常采用纯粹的数学推导,这明显不利于学生对知识的掌握.为此,我们利用Monte Carlo方法[1-2]在计算机上对重力场中理想气体系统进行模拟,直观展现气体分子空间分布图像,验证玻耳兹曼分布律.计算机模拟在现代教学过程中发挥着日益重要的作用[3-5],通过模拟可以帮助学生增加对所学知识的感性认识,巩固所学理论.

在重力场中,理想气体系统达到平衡时,分子分布会呈现上疏下密的特征.结合理想气体状态方程和气柱模型[6-7],可以推出重力场中理想气体分子数密度n随高度h的变化规律,即玻耳兹曼分布律:

其中m为气体分子的质量,g为重力加速度,kB为玻耳兹曼常量,T为系统温度,n0为高度h=0 (零重力势能)处分子数密度.n0与分子质量和系统温度都有关.假定h=0处的压强为p0,则由理想气体状态方程可得p0=n0kBT;若气柱的底面积为A,气柱内的分子数目为N,则p0又可表示

2 模型的建立及模拟方法

对于理想气体系统而言,分子之间大量的随机碰撞使系统平衡时分子具有特定的速度和数密度分布.考虑到分子速度分布和数密度分布是相互独立的[6-7],因此可以撇开分子速度来讨论分子的密度分布.分子之间的碰撞使分子空间位置的改变出现随机性和无规性,因此在模拟中可用分子位置的随机改变来描述分子之间的碰撞.重力场的加入使得分子选择重力势能小的位置的概率增大,选择重力势能大的位置的概率减小.在模拟中用Metropolis算法[1]来刻画重力场对分子位置选择概率的改变.另外,分子间的碰撞还反映了分子之间的不可侵入性,因此在模拟中采用排除体积作用来描述分子之间的相互作用,即2个或多个分子不能同时占据空间同一位置.具体的模型、模拟方法如下:

模型系统建立在二维正方格子点阵上(格子常量为a),重力加速度方向沿z轴负方向,如图1所示.模拟区域在x和z方向的尺寸分别为L和H+1.在z方向选取2个边界z=-1和z=H,而在x方向上采用周期性边界条件.理想气体分子只能分布在高度z=-1到z=H区域内.气体分子用质点代替,每个分子只能占据1个格点,分子与分子或分子与边界不能同时共用1个格点(排除体积作用).假定每个分子的质量为m,并选取z=0处重力势能为零,那么处在高度z上的分子重力势能可表示为E=mgz.

图1 模型系统示意图

在模拟中,分子的位置改变是通过分子尝试运动来实现的:假定气体系统共有N个分子,对于每次尝试运动,先随机选择1个分子,然后再随机选择该分子周围8个近邻格点中的1个格点作为其新位置.假定新位置没有被其他分子占据,那么根据Metropolis算法[1]该尝试运动成功的概率为min(1,e-ΔE/kBT),其中ΔE代表分子尝试运动所伴随的重力势能的增加量.定义1个Monte Carlo步长为时间单位,在1个Monte Carlo步长内共有N次分子尝试运动.当系统经过一定时间演化达到平衡后,便终止抽样模拟并对模拟空间每一高度(z)上的分子数目(NI)进行统计,进而计算得到每一高度上的分子数密度n(z)=NI/L.本文所给出的结果都由200次独立抽样模拟平均得到.

本文分别选取正方格子常量a、温度T0= 300 K和氢原子质量m0=1.67×10-27kg为长度、温度和质量单位,并用z,T＊和m＊表示高度、温度和质量.假定格子常量a=100 m,同时取重力加速度g=10 m/s2、玻耳兹曼常量kB=1.38× 10-23J/K,则式(1)可作如下变换:其中无量纲常数C=4.0×10-4.选择模拟区域尺寸L=1 000,H=499.如果不做特别说明,模拟区域的理想气体分子数目均为N=1 000.

3 模拟结果及讨论

首先模拟了温度T＊=1.000时氧气分子的空间分布.在无重力情形下,模拟区域内的每个分子向各个位置运动具有相同的概率,因此系统平衡时分子在模拟区域内呈均匀分布,如图2所示.这与实际气体系统在无重力条件下分子空间分布特点相一致.

图2 无重力时氧气分子的空间平衡分布

加入重力场后,分子向重力势能减小方向运动的概率增大,而向势能增大方向运动的概率减小,原来的均匀分布平衡被破坏.经过一定时间的演化,体系将达到新的平衡,分子的空间位置也将出现新的分布.图3给出了加入重力场后模拟区域内几个高度上的氧气分子数目随时间的演化(t=0对应刚加入重力场),其中虚线对应无重力场时各高度上的平均分子数.由图3可以看出,加入重力场后,模拟区域下部(z值小)各高度上分子数不断增加,而上部(z值大)各高度分子数不断减小.随着下部分子数增多,分子之间的排除体积作用越来越强.当重力与分子之间的排除体积作用相平衡时,各高度上的分子数达到饱和,系统也达到新的平衡,在整个模拟区域氧气分子形成了上疏下密的空间分布,如图4所示.系统达到平衡并不意味各高度上的分子数目恒定不变.由图3还可以看出,各高度上的分子数达到饱和后,分子数仍存在一定的涨落,这说明气体系统的平衡是一种动态平衡.为了进一步说明这一点,当系统平衡时,随机选择1个氧气分子,记录其高度随时间的演化,如图5所示.由图5可以看出,即便整个体系处于平衡,但就每个分子而言其高度仍可在很大的范围内变化,只不过分子处在低位置的概率要比高位置的大.当温度T＊=1.000时,由式(3)可以得到氧气(m＊=32)的密度随高度的变化关系:n/n0= exp(-0.012 8z).图6给出了氧气分子数密度分布的模拟结果,其中曲线是由上述理论公式得到的结果.由图6可以看出,模拟结果与理论曲线几乎完全吻合.

图3 不同高度上分子数目随时间的演化

图4 有重力时氧气分子的空间平衡分布

图5 平衡态下氧气分子的高度随时间的演化

由式(1)可以看出分子质量以及系统温度都会对气体密度分布产生影响.为了验证这一问题,分别模拟了相同分子数(N=1 000)的氧气(O2)、二氧化碳(CO2)和二氧化硫(SO2)3种气体在一定温度下的密度分布,同时模拟了一定分子数(N=1 000)的氧气(O2)在不同温度下的密度分布,图7和图8分别给出了对应的模拟结果.可以直观看到:质量和温度都会对密度分布图线的陡峭程度产生影响.分子质量越大,密度分布图线越陡峭;系统温度越高,密度分布图线越平缓.处在重力场中的气体分子一方面做无规则热运动,一方面受重力作用.质量越大,分子受到的重力越大,向下运动的概率就越大,从而使模拟区域下部的分子数越多,密度分布曲线越陡峭;温度越高,分子的热运动就越剧烈,克服重力作用而达到模拟区域上部的分子数目也就越多,从而使得密度分布曲线越平缓.

图7 不同质量的气体分子的密度分布图线

图6 氧气分子的密度分布图线

图8 不同温度下氧气分子的密度分布图线

由图7和图8容易看出,质量和温度不仅会对密度分布图线的陡峭程度产生影响,而且对n0也有影响.质量越大,处在z=0高度的分子越多,n0就越大;温度越高,处在z=0高度的分子越少,n0就越小.式(2)表明n0与质量成正比,与温度成反比.为了验证这一关系,我们分别模拟研究了n0随m＊以及T＊的变化,如图9和图10所示.由图可以看出,随着分子质量(m＊)增大或温度(T＊)减小,n0不断增大.另外,由模拟结果可以直观得到:n0∝m＊,n0∝1/T＊,这就很好地验证了式(2).

图9 lgn0与lgm＊的关系

图10 lgn0与lgT＊的关系

上面讨论了纯的理想气体在重力场中的密度分布.很明显,模拟不仅直观展现了气体分子位置改变和分布特点,而且定量验证了玻耳兹曼分布律.接下来模拟研究混合理想气体在重力场中的密度分布.在实际模拟中,同时将氧气(O2)、二氧化碳(CO2)和二氧化硫(SO2)3种气体各1 000个分子放入模拟区域,考查温度T＊=1.000时各种成分气体以及混合气体平衡态分子密度分布,模拟结果如图11所示,其中插图代表混合气体总的分子数密度分布.由图可以看出:当系统处于平衡时,混合气体和各种成分气体分子数密度分布都保持上疏下密的特点,这说明在重力场中不管是纯的气体还是混合气体,气体分子都会向重力势能小的地方聚集.另外,通过对比图11和图3发现混合气体中各成分气体分子数密度分布与对应的纯气体分子数密度分布几乎完全相同,这说明玻耳兹曼分布关系不仅适用于重力场中纯的理想气体,而且适用于混合气体中各成分气体.

图11 混合气体中各成分气体密度分布图线(插图为混合气体总的密度分布图线)

4 结束语

本文用Monte Carlo方法模拟了重力场中理想气体的密度分布.模拟直观展现了重力场中气体分子位置的演化,揭示了气体分子位置的改变和分布特点.模拟得到的气体密度分布曲线与玻耳兹曼分布律完全一致.模拟结果表明,分子质量(m＊)和系统温度(T＊)对分子密度分布产生重要影响,m＊和T＊不仅影响分布曲线的陡峭程度而且影响重力势能零点处分子密度n0的大小. n0与分子质量成正比,与温度成反比.模拟结果与理论结果描述的关系完全吻合.另外,我们还讨论了混合理想气体密度分布,模拟结果显示混合气体中各成分气体的密度分布与纯的理想气体的密度分布相一致,这说明玻耳兹曼分布律不仅对纯的理想气体成立,而且对混合理想气体中各成分气体也成立.

[1] Metropolis N,Rosenbluth A W,Rosenbluth M N, et al.Equation of state calculations by fast computing machines[J].J.Chem.Phys.,1953,21: 1 087-1 092.

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[3] 吴俊,吴本科,谢莉莎,等.微波单缝衍射的实验研究及数值模拟[J].物理实验,2008,28(6):39-41.

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Monte Carlo simulation of density distribution of ideal gas in gravity field

WANG Chao,ZHOU Yan-li,CHEN Ying-cai
(Department of Physics,Taizhou University,Taizhou 318000,China)

The density distribution of ideal gas in gravity field is simulated using the Monte Carlo method.The characteristics of the moving process and distribution of ideal gas molecules in gravity field are displayed.The influence of molecule mass and system temperature on the density distribution and the densityn0at the position where the gravity potential energy is defined zero are discussed.The simulation results are in good agreement with the Boltzmann distribution.In addition,the simulation results indicate that the Boltzmann distribution hold true not only for pure ideal gas,but also for each component in mixed ideal gas.

ideal gas;density distribution;Boltzmann distribution;Monte Carlo simulation

O4-39;O552.3

A

1005-4642(2010)10-0024-05

[责任编辑:郭 伟]

2009-12-28;修改日期:2010-04-05

王 超(1981-),男,河南南阳人,台州学院物理系讲师,硕士,主要从事物理教学及高分子模拟研究工作.