彭延建，刘应中，时钟

（上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院 海洋工程国家重点实验室 港口与海岸工程系，上海 200030）

波浪在缓变海底上传播的一个简单数学模型

彭延建，刘应中，时钟

（上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院 海洋工程国家重点实验室 港口与海岸工程系，上海 200030）

基于Liu和Shi（2008）的波浪势函数零阶、一阶近似解，采用四阶龙格-库塔法，对缓变海底上一维波浪传播理论模型进行了数值求解，并对波浪在定常坡度的斜坡地形、双曲正切地形为例的传播、变形进行了研究。为了更逼真地描述流体质点的波动特性，将在Euler坐标系下得到的解转换至Lagrange坐标下的解，并绘制Lagrange坐标下坡度为0.2的海滩上的一个波周期内临近破碎前的波形的详细变化过程。此外，计算得到了变水深区域波浪速度势以及自由面的分布，并与Athanassoulis and Belibassakis[34]的结果进行了对比，表明本文模型比保留了六个瞬息项的后者更有效。

波浪传播；缓变海底；波形；摄动

波浪在向近岸传播的过程中，因为受到海岸地形等因素的影响，会发生浅化、折射与绕射；波况也随之变化，如：波长变短、波高先减小后增大、波速变慢、波向也会趋于与岸线垂直。波浪在缓变海底上传播的研究，对物理海洋学、海岸动力学等有科学意义，同时，对港口航道海岸工程亦有实践意义。

对波浪折射、绕射的研究最初来源于光学的启发，Penny和Price[1]指出光学中经典的Sommerfeld[2]解也是波浪绕射问题的解。利用反射原理，Lewy[3]得到了波浪在变水深传播的控制方程和解析解，但是其结果在近岸处发生奇异，波幅无限大，与实际物理现象不符。基于光学中的折射理论，Arthur[4]以及Munk和Arthur[5]根据Fermat原理(Fermat principle)，推导出特征线方程和其常微分方程形式，后来射线理论成为求解波浪折射的主要方法。自20世纪1950年代起，波浪的传播进一步引起科学家和工程师的关注，得到了一些理论解析解。当然，有关波浪折射与绕射的数值方法也得到发展[6-12]。以下简要地对理论解析解的研究做一综述。

在线性化自由边界条件下，Eckart[13]提出描述波浪从深水向浅水传播的数学模型，对于斜坡地形特例，解出了级数形式的解析解。同样在线性化自由边界条件下，Peters[14]和Roseau[15]推导得到积分形式的解析解。对于波浪垂直入射坡度为 的缓坡的问题，Biesel[16]将波浪的势函数以坡度为参数摄动展开，提出一个一阶的势函数的解析解，和波幅变化的表达式。利用波浪射线理论和波能守恒理论，Battjes[17]推导出波浪在缓坡上传播的势函数的解析表达式。对于等深线平直的情形，Mei和LeMehaute[18]利用WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin approximation)法渐进展开，得到波浪势函数的一阶解和二阶解。对于不同的波幅水深比，Mei等[19]给出一组拟线性双曲型方程，描述波浪的绕射。利用摄动法，以波陡为摄动参数，Chu和Mei[20]推导得到波浪速度势函数的解析解，此解析解含有坡度的一阶参数 ，能够反映床底坡度对波动解的影响。Liu和Dingemans[21]针对斜坡底床上的前进波列，利用多重尺度法，将水平面上的坐标分为快变变量和慢变变量，推导出包含弱非线性及底床坡度效应的Ο(ε2)阶波动势函数的解，此解可以认为是对Chu和Mei[20]的修正。Massel[22]以Galerkin的特征函数法推导出一个缓坡方程，其中保留了地形变化的高阶量，因此，对于床底之微小变形造成的反射有良好反应。基于线性自由表面边界条件，为了反映床底坡度效应，Chen等[23]将波动场以床底坡度

摄动展开，求得包含底床斜坡效应的前进波势函数的解析解。Chen等[24]通过摄动展开求得非线性参数到3阶、坡度到1阶的势函数解析解，并转换至Lagrange坐标系下。Hsu等[25]将Chen等[23]提出的包含底床斜坡效应的前进波势能函数的解析解，加以处理后，代入沿水深积分的方程，得到一种新型的补充缓坡方程(complementary mild-slope equation)。

鉴于Biesel[16]没有给出具体的推导过程，文圣常、余宙文[26]重新推导，给出了一个级数形式的波幅解。基于射线理论，李德筠、沈国光[27]提出了一种解决射线相交的简便方法。运用水波Hamilton变分原理，黄虎[28]得到一个近岸不平海底的缓坡方程，其中考虑了水深一般变化的二阶效应。对波浪折射绕射问题的研究，大陆学者多集中于对缓坡方程和Boussinesq方程的理论改进和数值方法研究[29-32]，对用理论解析解决波浪折射绕射问题研究可能还是相对较少。

尽管国内、国外对波浪传播进行了大量的研究，但由于波浪传播本身物理过程的复杂性，一些基本过程仍需研究和探讨。基于线性波浪理论，利用摄动理论中的多重尺度法，以坡度 为小参数，Liu和Shi[33]推导出波幅方程，以及一阶势函数的解析解，但未对模型实现与验证。

本文的目的：(1)将Liu和Shi[33]中的理论模型加以实现；(2)采用此模型描述流体质点的波动特性，即Lagrange坐标下的一个波周期内临近破碎前的波形的变化过程；(3)通过与文献Athanassoulis和Belibassakis[34]的结果进行比较，以验证本模型的有效性。

1 数学模型

本文的数学模型理论部分也可参见Liu和Shi[33]，为了使此中文文稿具完整性，故将Liu和Shi[33]中理论模型在此做简要地介绍。以笛卡尔坐标系为参考坐标，水平 轴位于静水面，与岸线的交点为坐标原点(0,0)，指向外海，z轴垂直向上，如图1所示。

图1 波浪在不平坦底床传播示意图及笛卡尔坐标系Fig. 1 Sketch of wave propagation over an uneven bottom and the Cartesian coordinate system

数学模型的推导基于经典的线性波理论和摄动理论中的多重尺度法。假设外海入射波为单色波，无穷远处水深不变，比如z=−h0，h0是常数。其速度势函数如下：

波浪的相对频率 与波数k0满足色散关系式：

假设底床为缓变海底，|∇h|/kh 为一小量 ，即在一个波长范围内，h的变化很小。

1.1 零阶近似解

零阶解的推导与在常水深条件下的解具有相同的形式，但同样适用于水深缓变的情况，它的解为：

对应的波面函数为：

零阶解是满足底部边界条件的。根据自由表面边界条件，得到色散关系式：

在无穷远处，

可求得每个水深点的k1和k2。

1.2 一价近似解

在式(3)中，对x求偏导：

一阶近似解的方程和条件变为：

以上推导中的参数A、B、C、C0、C1和C2均为关于水平尺度(x, y)的函数。假设一阶解的形式为：

将式(11)代入式(10a)，比较等式两边的系数，得到：

容易验证这个解是满足底部边界条件的。结合色散关系式，将式(11)代入式(10b),自由表面边界条件为：

波幅函数确定后，势函数的解析解也就随之确定：

波浪场的流速具有以下形式：

自由面的表达式为：

如果y方向上地形没有变化，来波正向入射，波幅的变化是一维的，式(12)变为：

积分后得到：

其中，a0为初始波幅，也即x～→∞时入射波的波幅。

2 计算方法

对于h=x的特殊算例，在物理尺度下实际是坡度为 的斜坡，波幅的变化已经给出显式解。如果坡度不是常数的缓坡，波幅方程转化为一个常微分方程，整理后得：

可采用四阶龙格-库塔 (Runge-Kutta)方法计算。波幅求出后，势函数、波形等物理量，在1.2节的推导中，已有显式的解析解，代入波幅即得到速度势和波形。

根据Mason[35]的试验证实，由Lagrange坐标系表示的波形能够更好地保持波动的真实性。为了采用本模型尽可能更好地保持波形的真实性，将以上方程求得的波形解转化为Lagrange坐标系下的解。下面将本文的解转换为Lagrange坐标系的解。根据u, w的表达式，求得起始位置在(x, y)处的流体质点水平方向和垂直方向位移(X, Z)分别为：

Lagrange坐标系的波形函数如下所示：

3 结果与讨论

对于坡度为常数的情形，采用本文方法所得的波幅，即式(16)，与Biesel[16]的结果在形式上是相同的，所以本文模型包含了Biesel[16]的解。图2为Lagrange坐标系下波浪入射到斜坡时，一个波周期内波形连续变化的过程。起始的时间为t=0，连续两个相位之间的时间差为T/8。由图2中可以看出，波浪传播到海岸时，波浪尾部逐渐拉长，有变平滑的趋势，而波浪前缘变得越来越陡，在6T/8时刻左右，波浪临近破碎，波峰变得很尖，这与真实的波浪是吻合的。值得一提的是，图2中，7T/8时刻及T时刻近岸处波浪实际已破碎，破碎带内本模型已不再适用。

为了更清晰地观察波峰临近破碎的情况，在模拟过程中，Δt取为T/48，模拟得出连续6个连续时刻的波形，从中能够清楚地观察到波峰变陡并逐渐向内卷曲的过程(图3)。

值得一提的是，以波陡和底床坡度为小参数，Chen等[24]推导得到一个应用于倾斜海底的考虑非线性效应的势函数的解析解，坡度展开到二阶，并同样转化至Lagrange坐标系。按照Chen等[24]的结论，在入射波陡为0.05、坡度为0.2的条件下，破碎形态应为卷波型(Plunging breaker)。本模型所得到的图3结果与Chen等[24]结论是吻合的。

此外，本文还研究相同波浪条件下不同坡度情况的正向传播，以进一步说明理论模型的适用性。限于篇幅，图从略，结果简述如下：本文选取0.01、0.02、0.05和0.10四个坡度进行比较，外海波浪正向入射，深海波陡k0a0=0.05、波周期T=1 s。从四种不同坡度下波形的变化图可以看出，它们与Biesel[16]的结果非常接近。相比零阶解，一阶解的波幅和相位均有所变化。波浪在坡度较缓(0.01, 0.02)的底床上波高先增大，波长变短，并且破碎早于较陡的底床。在坡度为0.05和0.10的情形中，波浪在非常靠近岸边的地方才开始出现变形效应，波高增大，波长变短。分析其原因，可能由于在坡度较大的情况下，从外海入射边界算起，在很长的一段距离内kh＞ ，水深为深水条件，波长等于

2/2 gT；而我们假设波浪传播过程中周期是不变的，因而，波长也不变。其中的原理可以理解为：底床坡度大，水深较深，所以，海底底床对波浪的影响小。

需说明的是，如图2所示，虽然本文模型可以较好地描述波浪卷破前的形态，但是，模型是否可以得到波浪“坍破”和“涌破”前形态仍须进一步的研究。

图2 波浪在坡度为0.2的海滩上传播中一个波周期内波形连续变化和破碎前的过程，时间间隔为T/8Fig. 2 Time series of modeled wave profiles prior to breaking on a beach over one wave period T at a slope 0.2 and the time interval of T/8

为了进一步了解本模型的适用性，现在将模型用于斜坡斜率非恒定的地形。现将本文模型也应用于Massel[22]的双曲正切函数地形，该地形的水深函数的形式为：

其中h1=6m，h3=2m，缓坡海底的长度b=20m。波浪正向入射，波高1.0m，周期T=3.14s。

图3 模拟得到的海滩上 t=6T/8时刻附近波浪临近破碎时波形连续变化的详细图，坡度为0.2，时间间隔为T/48Fig. 3 Details of modeled successive wave profiles prior to breaking around t=6T/8 on a beach at a slope of 0.2 and the time interval of T/48.

为了验证求解波幅方程式(14)的数值方法的合理性，首先，将本文模型算得的波形与Dean和Dalrymple[36]中基于波能守恒原则的浅化公式(4.117)的结果进行对比(图4)，本文模拟得到的波形，与浅化公式结果是非常吻合的。

其次，本文模拟得到了在变水深区域波浪场势函数的解，如图5 (I)所示。Athanassoulis和Belibassakis[34]中速度势的表达式为：

而在本文速度势的表达式中虚数单位i在分母上，注意图5(I)中的实部其实是式(13)的虚部。Athanassoulis和Belibassakis[34]的结果如图5 (II)中所示。图5表明：

(i) 本文速度势分布结果与Athanassoulis和Belibassakis[34]的结果是很相似的，而且一阶解比零阶解更为接近ER的结果，尤其是速度势的虚部。

(ii) 虽然在精确度上尚不如ER模型，但是Athanassoulis和Belibassakis[34]保留了衰减项(Evanescent mode)，或称作非传播项(Non-propagating mode)，这些局部项包含了波浪的绕射和反射作用。

图4 0到20m断面内t=0.6s时刻本文模型计算得到的波形(实线)与Dean 和Dalrymple[36]基于波能守恒原则的浅化公式(4.117)的结果(空心圆)的对比，对应的地形见图5Fig. 4 Comparison of wave profiles at t=0.6s for a cross-section between 0 and 20m calculated by the present model (solid lines) and Dean and Dalrymple[36]shoaling equation (4.117) based on the conservation of wave energy (open circles). The corresponding bathymetry is shown in Fig. 5

(iii) 图5 (II)所示ER模型的结果保留了7项局部项，而本文模型只对速度势摄动展开到1阶，并且不考虑绕射和反射，能达到图5的相似程度，说明本文模型是较为有效的。

图5 变水深区域波浪势函数的等势线以及自由面高度的对比，虚线代表零阶解，实线代表一阶解。注：(I) 本模型的结果: (A)为势函数的实部；(B)为势函数的虚部。(II) Athanassoulis and Belibassakis[34]的结果: (a)为势函数的实部；(b)为势函数的虚部。Fig. 5 Comparisons of equipotential lines of the wave potential function and free-surface elevation over variable bathymetry regions as obtained by the zero-order solution (dashed line) and 1st-order solution (solid line), respectively. Note that (I) the present model: (A) Real parts of the wave potential; and (B)Imaginary parts of the wave potential. (II) Athanassoulis and Belibassakis[34]: (a) Real parts of the wave potential; and (b) Imaginary parts of the wave potential.

4 结论与展望

本文初步研究结果可概括为以下几点：

(i) 对于坡度为常数的斜坡特例，本文模型求解出显式的波幅函数。将本文Euler坐标系下推导得到的波形解转换至Lagrange坐标系后，结果显示本文得到的一阶解能够呈现波动的特性。

(ii) 本文用于求解波幅方程的数值方法能够得到较为精确的结果，所求得的一阶解相比零阶解更精确，表明本文模型同样适用于坡度斜率有变化的情形。

(iii) 本文模型的不足之处是波动场势函数的等势线与海底底床不是处处垂直，如果在摄动展开过程中保留更高阶项，上述不足或将得到改善。

综上所述，本文模型可以认为是Biesel[16]解的扩展。不但收敛于Biesel[16]的解，而且本文模型可以适用于坡度变化的地形，并且具有较为满意的精度。本文得到的解析解及数值解最好能够与实测资料进行比对分析，这也是本项研究工作下一步应该努力的方向。显然，本文的研究结果仅限于一维波浪传播问题，今后，拟将本文模型应用到平面二维波浪传播问题，届时，可以尝试着采用经典的试验实测资料，对本模型进行对比分析。本文中所求解的问题都是简化了的一维情形，即等深线是平行于海岸线的直线，水深只在波浪传播方向上变化，波浪正向入射且传播方向保持不变。针对于二维情形，水深在 和y方向上均有变化，波浪会发生折射与绕射，求解波幅方程的数值方法相比一维情形将复杂一些。更高阶解的推导，以及二维问题波幅方程的数值求解和验证，有待进一步的研究。

致谢：感谢史锋岩从美国University of Delaware寄来文献[16]。台湾中山大学海洋环境及工程系陈阳益教授就坐标转换问题给予了作者极大的帮助。

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A simple mathematical model of wave propagation over a gently sloping sea bottom

PENG Yan-jian, LIU Ying-zhong, SHI Zhong
(School of Naval Architecture, Ocean and Civil Engineering, The Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200030, China)

Based on the zero-order and first-order approximate solutions of the wave potential function in Liu and Shi[33], using the fourth-order Runge-Kutta method, the numerical solution has been made for the theoretical model of one-dimensional wave propagation over a gently sloping sea bottom in this paper. This paper also elucidates how waves propagate and deform over sloping bottom with a constant slope and hyperbolic tangent-shaped topography. To clearly depict the undulating motions of water particles, calculated solutions of the present model are transformed from the Euler coordinate system into the Lagrange coordinate system. Details of successive wave profiles prior to breaking on a beach at a slope of 0.2 over one wave period are plotted in the Lagrange coordinate system. Furthermore, the wave potential and free-surface elevation over the variable bathymetry regions are calculated by the present model and then compared with Athanassoulis and Belibassakis’[34]results. The present results are more efficient than the latter obtained by retaining six evanescent modes.

wave propagation; sloping sea bottom; wave profiles; perturbation

TV139.2

A

1001-6932(2010)03-0302-08

2010-01-20；

2010-04-16

国家自然科学基金 (水利科学50679040)、上海交通大学特聘教授基金(DP2009012)

彭延建 (1983－)，男，硕士研究生，研究波浪数值模拟。电子邮箱：pengyanjian@gmail.com

时钟 (1965－)，男，教授。电子邮箱： zshi@sjtu.edu.cn