严兰兰，樊继秋，黄 涛



基于Metaball的C连续过渡曲线的构造

严兰兰，樊继秋，黄 涛

(东华理工大学理学院，江西 南昌 330013)

为得到能使过渡曲线在端点处达到C(为任意自然数)连续的多项式势函数的通用表达式，由连续条件反推的势函数需具备的条件，根据条件个数确定势函数的最低次数，将势函数表示成Bernstein基函数的线性组合，组合系数待定。根据Bernstein基函数的端点信息确定关于待定系数的方程组，解之得出满足连续性要求的势函数。考虑到由该势函数构造的过渡曲线形状由被过渡曲线唯一确定，又将势函数次数增加一次，得出能使过渡曲线在端点处达到任意C连续并且形状可调的多项式势函数的通用表达式。借助Bernstein基函数的升阶公式给出了两种势函数之间的关系，分析了势函数的性质以及相应过渡曲线的特征，给出了势函数以及过渡曲线的图例，验证了理论分析结果的正确性及所给方法的有效性。

过渡曲线；势函数；Metaball技术；形状调整

在计算机辅助几何设计(computer aided geometric design，CAGD)中，曲线造型是重要的研究主题之一。在曲线造型设计中，过渡曲线的构造具有十分重要的意义。过渡曲线在计算机辅助设计、工业数控加工、道路设计、机器人设计等领域有着非常广泛地应用。例如，凸轮轮廓曲线设计[1]、齿轮齿根过渡曲线设计[2]、旋叶式压缩机的气缸型线设计[3]、车道线形设计[4]、机器人运动指令设计[5]等，都要用到过渡曲线。

以过渡曲线为研究主题的文献较为丰富。如：张宏鑫和王国瑾[6]研究了一般的Bézier曲线在形状调配过程中，如何保持中间过渡曲线的几何连续性；高晖等[7]提出了一种新的类三次Bézier曲线，并将其应用于两圆弧之间半径比例不受限制的型和型2连续过渡曲线的构造；刘华勇等[8]给出了一种代数型的Bézier-like曲线在形状调配过程中，保持中间过渡曲线一阶、二阶几何连续性的方法，以及一种三角型的Bézier-like曲线在形状调配过程中，保持中间过渡曲线一阶、二阶参数连续性的方法[9]；李重等[10]研究了当2段圆弧处于相离情况时，如何构造型和型2连续过渡曲线；郑志浩和汪国昭[11]使用三次PH曲线来实现端点曲率圆相包含关系的圆弧之间型2连续过渡曲线的构造；李凌丰等[12]给出了一种基于势函数与Metaball技术构造过渡曲线的方法，采用Wyvill等定义的六次多项式势函数构造光滑连接2条任意曲线的过渡曲线，其在2个端点处具有1连续性；李军成等[13-14]利用文献[15]中所给带形状参数的Bézier曲线模型构造了一种带参数的多项式势函数，并构造了在2个端点处2连续的过渡曲线；高晖和寿华好[16]构造了2类势函数，第一类可使过渡曲线在端点处达到C(为任意自然数)连续的多项式势函数，第二类可使过渡曲线在端点处达到1连续且具有形状可调性的混合三角势函数。文献[6-11]对被连接曲线的种类有限制；文献[12-14,16]可以实现任意种类曲线之间的过渡，文献[12]以及基于文献[16]中第一类势函数构造的过渡曲线形状由被连接曲线唯一确定；文献[13-14]以及基于文献[16]中第二类势函数构造的过渡曲线可以在不改变被连接曲线的前提下调整形状，然而这些形状可调的过渡曲线在端点处都只能达到1或2连续。

文献[17]采用了与文献[13-14]相同的方法，从文献[18]中所给带形状参数的曲线模型出发，构造了一类带参数的有理势函数，并将其应用于过渡曲线的构造。文献[17]的方法对被连接曲线的种类没有限制，也可通过势函数中所带的参数调整过渡曲线的形状，并且过渡曲线在端点处可以达到C(为任意正整数)连续。虽然集众多优点于一身，但势函数的有理形式使后续计算变得复杂。

基于对现有文献优缺点的分析，本文希望保留文献[17]方法中的优点，同时将其中势函数的函数类型改变为易于计算的多项式函数。文献[16]中给出的第一类势函数为多项式函数，由之定义的过渡曲线在2个端点处可以达到C连续。该文献将势函数表达成幂基的线性组合，并给出了组合系数应满足的方程组。然而，对于任意的正整数，该方程组的求解较为困难，这使得文献[16]未能给出可以使过渡曲线在端点处达到C连续的势函数的通用表达式。鉴于此，本文对文献[16]中给出的第一类势函数作出改进，将其表达成Bernstein基函数的线性组合，这种表达方式的改写使得组合系数的求解变得简单。对于任意的自然数，首先得出可使过渡曲线在端点处C连续的最低次多项式势函数的统一表达。考虑到该势函数不含参数，可将其次数提升一次，预留出一个自由度，进而给出含一个参数，并且可以使过渡曲线在2个端点处达到任意指定连续阶的势函数的通用表达式。

1 预备知识

1.1 基于Metaball的过渡曲线

给定平面上2条相交于点的参数曲线()与()，称其为被过渡曲线，其端点分别记作与，如图1所示。希望构造一条过渡曲线()，将2个端点与光滑地连接起来，要求过渡曲线的内部形状取决于2条被过渡曲线。

2条被过渡曲线的交点是不光滑的尖点，构造过渡曲线的目的是使曲线()与()之间连续平滑地过渡。假设过渡曲线的起止点分别为点和点，要求在靠近曲线()处过渡曲线的形状尽可能与()相似，在靠近曲线()处过渡曲线的形状尽可能与()相似。

图1 基于Metaball的过渡曲线

为满足上述要求，文献[12]提出了构造基于Metaball的过渡曲线，即

1.2 Bernstein基函数的相关结论

以及规范性，即

2 势函数的构造

2.1 势函数需满足的条件

将式(1)整理成

由Leibniz公式

可得

以及

则有

2.2 不含参数的势函数

由2.1节的分析可知，为了使式(1)给出的过渡曲线在2个端点处与被过渡曲线之间达到C连续，必须要求势函数()满足式(4)和式(5)给出的所有条件。由于式(4)和式(5)所给条件共有2+2个，当势函数为2+1次多项式时，其未知系数一共2+2个，未知数个数与方程(条件)个数一致，当方程组系数矩阵的行列式不为零时，恰好有唯一解。

幂基和Bernstein基函数可以互相转化，因此本文将势函数设为

结合式(2)，(4)，(6)可得

由此推出

结合式(3)，(5)，(6)可得

由此推出

将式(7)和式(8)所得系数代入式(6)可得

为得到势函数表达式，文献[16]需根据指定的连续阶，确定关于表达式中未知系数方程组的系数矩阵，再计算其逆矩阵，进而得出势函数，若改变连续阶，上述过程需重新进行。将势函数的表示从幂基转化为Bernstein基以后，不管连续阶为多少，均可直接写出势函数，此为基变换带来的优势。虽然文献[17]也可直接写出任意阶连续目标下的势函数，但其势函数为有理式，而本文势函数为多项式，因此在分析过渡曲线性质涉及到积分、求导等运算的时候，本文计算难度小于文献[17]。

2.3 含参数的势函数

将式(1)中的势函数()换成()，为了使对应的过渡曲线在2个端点处达到C连续，同样要求()满足式(4)和式(5)中所有条件，一共有2+2个。当势函数为2+1次多项式时，一共有2+2个系数待定，此时恰好有唯一解(见2.2节)，因此所得势函数不含任何自由参数。

为使势函数包含一个自由参数，设()为2+2次多项式，并将其用Bernstein基函数表示成

与2.2节分析方法相同，结合式(2)、(4)、(10)得

由此推出

结合式(3)，(5)，(10)得

由此推出

将式(11)和式(12)所得系数代入式(10)可得

即有

3 势函数的性质

3.1 势函数fk(t)的性质

证明.定理1中的(1)，(2)由第2节的分析易知，端点性和导数性成立。

定理1中的(3)由Bernstein基函数的规范性知

又由Bernstein基函数的对称性知

综合式(16)、(17)可得

定理1中的(4)由式(9)知

又由Bernstein基函数的对称性知

故由Bernstein基函数的规范性知

又由式(9)可知

用式(20)减去式(19)得

有界性得证。

证毕。

注1.上述各个性质的独立证明，表明中点性可由对称性得到，有界性可由端点性和单调性得到。

即是对图中直观结果的理论解释。

3.2 势函数gk(t)的性质

(1) 退化性。当=0时，g()=f()。

(2) 端点性。g(0)=1，g(1)=0。

图2 势函数fk(t)的图形

(4) 中点性。当=0时，有g(0.5)=0.5。

证明. 定理2中的(1)由式(9)和式(15)易知。

定理2中的(2)和(3) 由第2节的分析易知，端点性和导数性成立。

定理2中的(4)和(5) 由退化性以及势函数f()的中点性和对称性易知。

定理2中的(6)由于

因此

由式(18)所得结果，以及Bernstein基函数的求导公式，可得

记

()=2–4–1

则

再由Bernstein基函数的非负性和规范性，得

有界性得证。

证毕。

即是对图中直观结果的理论解释。

图3 势函数g0(t)的图形

图4 势函数g1(t)的图形

图5 势函数g2(t)的图形

图6 势函数g3(t)的图形

图7 势函数g4(t)的图形

图8 参数的势函数gk(t)的图形

图9 参数的势函数gk(t)的图形

图10 参数的势函数gk(t)的图形

图11 参数的势函数gk(t)的图形

4 过渡曲线

4.1 以fk(t)为势函数的过渡曲线

任给2条被过渡曲线()与()，取式(1)中的()为式(9)所给f()，所得过渡曲线()具有如下特征：

(1) 由f()的端点性可知

表明过渡曲线以()的起点为起点，以()的终点为终点。

(5) 由f()的有界性可知，过渡曲线()为被过渡曲线()与()的凸组合。

图12 以势函数构造的过渡曲线(1)

图13 以势函数构造的过渡曲线(2)

4.2 以gk(t)为势函数的过渡曲线

与4.1节分析方法相同，由势函数g()的性质可知，任给2条被过渡曲线()与()，取式(1)中的()为式(15)所给g()，所得过渡曲线()具有如下特征：

(1) 过渡曲线以()的起点为起点，以()的终点为终点。

(2) 过渡曲线()在两端点处C连续。

前面的讨论和图例都假定被过渡曲线相交于一点，即与文献[16]一致。实际上，当被过渡曲线没有交点时，关于过渡曲线的所有结论依然成立。

图14 以取不同λ值的势函数g0(t)构造的过渡曲线

图15 以取不同λ值的势函数g1(t)构造的过渡曲线

图16 以取不同λ值的势函数g2(t)构造的过渡曲线

图17 以取不同λ值的势函数g3(t)构造的过渡曲线

图18 以取不同λ值的势函数g4(t)构造的过渡曲线

图19 过渡曲线造型实例

5 结束语

曲线是曲面的基础，从曲线推广到曲面，维数增加，计算量增大，关于连续性分析的难度增强，下一步的研究目标是克服难点，将过渡曲线的构造方法推广至过渡曲面。

[1] 张惠茹. 基于AutoCAD凸轮轮廓曲线设计[J]. 软件, 2013, 34(1): 87-88,148.

[2] 董新华, 马勇, 柳强. 渐开线齿轮齿根过渡曲线最佳线型实现方法[J]. 机械传动, 2013, 37(5): 47-49.

[3] 宋立权, 赵学科, 李智成, 等. 任意缸体旋叶式压缩机的叶片型线设计理论研究及应用[J]. 机械工程学报, 2011, 47(15): 143-148.

[4] 蔡华辉, 王国瑾. 三次C-Bézier螺线构造及其在道路设计中的应用[J]. 浙江大学学报: 工学版, 2010, 44(1): 68-74.

[5] 禹鑫燚, 邢双, 欧林林, 等. 工业机器人CP运动指令的设计与实现[J]. 浙江工业大学学报, 2017, 45(5): 568-573.

[6] 张宏鑫, 王国瑾. 保持几何连续性的曲线形状调配[J]. 高校应用数学学报: A辑, 2001, 16(2): 187-194.

[7] 高晖, 寿华好, 缪永伟, 等. 3个控制顶点的类三次Bézier螺线[J]. 中国图象图形学报, 2014, 19(11): 1677-1683.

[8] 刘华勇, 王焕宝, 李璐, 等. 几何连续的Bézier-like曲线的形状调配[J], 山东大学学报: 理学版, 2012, 47(3): 51-55.

[9] 刘华勇, 段小娟, 张大明, 等. 基于三角Bézier-like的过渡曲线构造[J], 浙江大学学报: 理学版, 2013, 40(1): 42-46.

[11] 郑志浩, 汪国昭. 三次PH曲线曲率单调性及过渡曲线构造[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2014, 26(8): 1219-1224.

[12] 李凌丰, 谭建荣, 赵海霞. 基于Metaball的过渡曲线[J]. 中国机械工程, 2005, 16(6): 483-486.

[13] 李军成, 宋来忠, 刘成志. 带参数的多项式势函数与构造基于Metaball的过渡曲线[J]. 中国图象图形学报, 2016, 21(7): 893-900.

[14] 李军成, 宋来忠, 刘成志. 形状调配中带参数的过渡曲线与曲面构造[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2016, 28(12): 2088-2096.

[15] 严兰兰, 梁炯丰, 黄涛. 带形状参数的Bézier曲线[J]. 合肥工业大学学报: 自然科学版, 2009, 32(11): 1783-1788.

[16] 高晖, 寿华好. 势函数的构造及基于Metaball的过渡曲线[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2015, 27(5): 900-906.

[17] 李军成, 宋来忠. 利用带形状参数的有理势函数构造基于Metaball的过渡曲线[J]. 浙江大学学报: 理学版, 2017, 44(3): 307-313.

[18] 严兰兰, 韩旭里. 形状及光滑度可调的自动连续组合曲线曲面[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2014, 26(10): 1654-1662.

[19] FARIN G. Curves and surfaces for CAGD [M]. 5th ed. San Francisco: Morgan Kaufmann Publishers, 2002: 66.

Construction ofCContinuous Transition Curve Based on Metaball Technique

YAN Lan-lan, FAN Ji-qiu, HUANG Tao

(College of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China)

In order to obtain the general expression of polynomial potential function which can make the corresponding transition curve reachC(is an arbitrary natural number) continuity at the endpoints, based on the required conditions of the potential function deduced from the continuity condition, the minimal times of the polynomial potential function is determined according to the number of the required conditions, and the potential function is expressed as a linear combination of the classical Bernstein basis functions which are yet to be determined. According to the function values and derivative values at the endpoints of the Bernstein basis functions, the required conditions of the potential function are converted into an equation set about the undetermined combination coefficients. Solving the equation, we obtain the general expression of the potential function which satisfies the expected continuity condition. Considering that the shape of the transition curve is uniquely determined by the curves needed to be transferred, another new polynomial potential function with one higher degree is constructed. By similar derivation process, the general expression of the new potential function which can make the transition curve reach arbitraryCcontinuity and with shape adjustability is obtained. With the help of the degree elevation formula of the classical Bernstein basis functions, the relationship between the two kinds of potential functions is deduced. The properties of the potential functions and the characteristics of the corresponding transition curves are also analyzed. Legends of the potential functions and the transition curves are put forward and they can verify the correctness of the theoretical analysis results and the validity of the presented method.

transition curve; potential function; Metaball technology; shape adjustment

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2019010059

A

2095-302X(2019)01-0059-11

2018-06-06；

2018-08-06

国家自然科学基金项目(11261003，11761008)；江西省自然科学基金项目(20161BAB211028)；江西省教育厅科技项目(GJJ160558)

严兰兰(1982-)，女，湖北浠水人，副教授，博士，硕士生导师。主要研究方向为计算机辅助几何设计。E-mail：yxh821011@aliyun.com

樊继秋(1985-)，男，江苏连云港人，讲师，硕士。主要研究方向为计算机辅助几何设计。E-mail：jqfan@ecit.cn