常用分布分位数的关系及应用

2010-06-08孙祝岭

航天器环境工程 2010年4期

孙祝岭

（上海交通大学数学系，上海 200240）

0 引言

我们知道t分布、2χ分布、F分布和正态分布是统计分析中的几种最常用分布，这些分布的分位数是统计分析的重要工具。然而，这些分布的分位数通常是要通过查表来获得。

最近，有文献[1]和[2]给出了有着重要应用价值的一些结果。其一，给出了正态分布变异系数的精确区间估计方法，它有多方面的应用，如可应用于结构可靠性的设计与估计，抽样检验方案的确定，质量稳定性的评定等；其二，给出了分布自由时环境因子的置信估计方法。

环境因子在可靠性工程上有着重要应用。在可靠性评定、验收中，经常要遇到不同环境下试验数据的折算与综合问题，如涉及航空航天产品的可靠性数据常常因为少得可怜而难以做出有效的可靠性分析，若能把其他环境下的可靠性数据折算为所考察的环境下的数据与已有少量数据加以综合，则无疑会有助于提高可靠性分析的效果。这类问题的解决就是取决于环境因子的确定。另外，在可靠性预测、分配等工作中也离不开环境因子。

上述两个结果中分别含有自由度是1的2χ分布、F分布的分位数。一般书中的有关分位数表对于每个自由度仅给出了为数不多的分位数值，在这些值外就查不到了。为便于应用，本文探讨了分布t(1)、χ2(1)、F(1,1)和N(0,1)分位数的关系及计算方法；给出了分布N(0,1)分位数的一个新的简单有效的计算公式，为统计分析提供了一个新工具。

1 分布 t(1)、χ2(1)、F(1,1)和 N(0,1)分位数的关系及计算

1.1 先推导分布t (1)和F(1,1)分位数之间的关系

设X～t(1)，则Y=X2～F(1,1)。

下面推导分位数Fα( 1 , 1)的表达式。

自由度为(1,1)的F分布F(1,1)的密度函数为

1.2 其次推导分布χ2(1)和N(0,1)分位数之间的关系

设ξ～N(0,1)，则η=ξ2～χ2(1)，

注：类似于1.1节和1.2节中的结论，在文献[3]和[4]中有所涉及；但讨论的目标、方法、结果形式却不完全相同。

1.3 再给出分布t(1)和N(0,1)分位数之间的关系

应用常用的标准正态分布函数值表与t分布分位数表自由度为1的数据，应用Excel软件，建立标准正态分布下侧分位数z1-α关于自由度为1的t分布t(1)上侧分位数tα(1)的回归方程，见下面定理1。此回归方程的判定系数为：R2=0.999 97；整体性检验的F统计量的值为：149 862.9；各回归参数局部性的检验p值依次为：0.004 015，0.000 651，5.61×10-6。从这些数据可知方程高度有效。

定理 1: 分布t(1) 上侧分位数tα(1)与分布N(0,1)下侧分位数z1-α满足下列等式：

这个定理为建立分布t(1)、χ2(1)、F(1,1)和N(0,1)的分位数之间的联系起到了“桥梁”式的作用。

用tα(1) = cot(πα)代入，就可得到得下面的结果。

定理2: 分布N(0,1)分位数的一个计算公式为：

我们知道在可靠性统计分析中涉及分位数的α通常接近于 0或 1，当接近于 1时，可用zα=z1-α计算。

本公式的计算误差如何？将在下一节加以说明。

定理3的结果由1.2节中的结果结合应用定理2即可得到。

2 数值比较

下面用列表形式给出分别用查表和定理 2计算得到的一些标准正态分布分位数数值（见表1）。

表1 查表和计算得到的正态分布分位数数值比较Table 1 Comparison of the two quartile values between lookup table and calculation

由表1结果显示，此法可应用于可靠性统计分析实践。与已有的、公认为较好的标准正态分布分位数的近似计算公式相比较，本文提出的新的近似计算公式虽然误差大了一些，但计算却更为简便，只需要用小计算器依次算就可获得结果。另外，本文提出的应用回归分析方法来处理分位数关系的方法，也为其他分位数关系和计算的进一步研究提供了新途径，具有借鉴意义。