张 俊，宋轶民，张 策，王建军

NGW型直齿行星传动自由振动分析

张 俊，宋轶民，张 策，王建军

(天津大学机械工程学院，天津 300072)

为揭示NGW型直齿行星传动的自由振动特性，在系杆随动参考坐标系下建立该型传动的平移-扭转耦合动力学模型．模型设定系统中每个构件均拥有3自由度，并计入各构件的支承刚度、轮齿时变啮合刚度及陀螺效应等影响因素．通过分析各构件间的相对位移关系，推导出系统的运动微分方程，进而求解其特征值问题，即可获知系统的固有频率和相应振型．依照传动系统的运动特征，可将NGW型直齿行星传动的自由振动分为3种典型振动模式，即扭转振动模式、平移振动模式和行星轮振动模式．比较本模型与前人模型的仿真结果发现，两种模型所得的系统各阶固有频率相同，但其中心构件平移振动模式所对应的系统振型向量存在较大差异．由于更正了前人模型中的推导错误，现有模型能更为准确地反映系统的自由振动特性．

行星齿轮传动；动力学建模；自由振动

作为齿轮传动的基本形式之一，行星齿轮传动的自由振动特性对整个传动系统的动态稳定性及参数共振特性具有重要影响，也是进行传动系统动态设计的起点．

为满足工业界对高速重载、低振动噪声、高可靠性和长寿命的要求，学术界围绕行星齿轮传动的动力学问题进行了相关研究[1-8]．Kahraman[1-2]曾在绝对坐标系下创建了NGW型直齿行星传动的动力学模型，分析了中心构件浮动与行星轮制造、安装误差对系统动力学性能的影响，但其推导过程极为繁琐，不易用于指导工程设计．为明晰各构件间的相对运动关系，Lin等[3]在系杆随动坐标系下建立了直齿行星传动的平移-扭转耦合动力学模型，并利用该模型分析了NGW型直齿行星传动的自由振动特性．但是，在Lin所创建的平移-扭转耦合动力学模型中，行星轮的加速度表达式与其质心坐标的定义不符，直接影响了后续各构件相对位移的表达及分析结果的可信性．

为准确揭示行星齿轮传动的自由振动特性，本文以NGW型直齿行星传动为研究对象，重新在系杆随动坐标系下建立了该类传动系统的平移-扭转耦合动力学模型．

1 平移-扭转耦合动力学模型

行星传动系统中可动构件数目较多，且存在若干虚约束，各构件间的相对运动关系极为复杂．为便于表达行星轮系中各构件间的相对运动关系，选择如图1所示的系杆随动坐标系作为参考坐标系[9]．

图1 系杆随动坐标系Fig.1 Carrier-attached coordinate system

图1 中，OXY为绝对参考坐标系，Oxy为系杆随动坐标系，并设定坐标系原点O为系杆理论安装中心，x轴指向行星轮1的平衡位置，y轴正方向由x轴正方形逆时针转过90°，Oxy以系杆的理想角速度cω匀速转动．对任一时刻t，可知系杆随动坐标系Oxy相对X轴转过的角度cctθω=．设ir为行星传动中某构件质心的位移矢量，显然ir可表示为

式中：μ、ν分别为x、y方向的单位矢量；xi、yi分别为ri在x、y轴的投影．

将式(1)对时间t求二次导数，并注意到μ˙=ωcν，ν˙=-ωcμ，则有

式(2)表明在系杆随动坐标系Oxy中，ri的加速度可表示为μ、ν方向的加速度分量的矢量和．

以系杆随动坐标系为基础，建立NGW型直齿行星传动的平移-扭转耦合动力学模型，如图2所示．各符号的含义如下：kpn为行星轮支承刚度(n= 1,2,…,N)；ψn为第n个行星轮中心与坐标原点的连线与x轴正向的夹角(ψn=2π(n-1)/N )；kij为中心构件的支承刚度(i=c,r,s；j=x,y,u)；(xi,yi,ui)为构件位移(i=c,r,s,1,2,…,N )；ui=riθi；ui、θi分别为各构件的扭转线位移与扭转角位移；ri为各构件的回转半径(若i=c，则为行星轮轴心到系杆几何形心的距离；若i=r,s,1,2,…,N，则为各齿轮的基圆半径)．

图2 平移-扭转耦合动力学模型Fig.2 Translational-rotational-coupling dynamic model

2 各构件间相对位移关系

在系杆随动坐标系下，行星轮系中各构件间的相对位移关系见图3[10]．为表达清晰，图3中未绘出系杆．图中，sα、rα分别为太阳轮和行星轮以及行星轮和内齿圈的啮合角；snk、rnk分别为外、内啮合刚度．

图3 行星轮系各构件间的相对位移Fig.3 Displacement relationship between components of planetary gear set

由图3可导出各构件间的相对位移．

1)太阳轮与行星轮相对位移沿啮合线方向投影

2)行星轮与内齿圈相对位移沿啮合线方向投影

3)行星轮与系杆相对位移沿cx、cy和cu方向投影

4)行星轮与系杆相对位移沿nx、ny方向投影

式(3)～式(9)即为系统的位移协调方程．

3 系统动力学方程

假定NGW型直齿行星传动的内齿圈固定，系杆、太阳轮分别连接输入端与输出端，输入扭矩为Tc，输出扭矩为Ts．设系杆、内齿圈、太阳轮和行星轮的质量分别为mc、mr、ms和mpn，其转动惯量分别为Ic、Ir、Is和Ipn．分析系统中各构件的受力状况，依据牛顿第二定律可建立如下的运动方程．

1)系杆运动微分方程

2)内齿圈运动微分方程

3)太阳轮运动微分方程

4)行星轮运动微分方程

将式(3)～式(9)所示的位移协调方程代入式(10)～式(13)，整理后表示成矩阵形式，可得系统的动力学方程为

式中q、M、cω、G、bK、mK、ωK和T分别为系统的广义坐标列阵、广义质量矩阵、系杆角速度、陀螺矩阵、支承刚度矩阵、啮合刚度矩阵、向心刚度矩阵和外激励列阵，且有

篇幅所限，其他各矩阵的元素不再详列．

4 自由振动分析

为方便分析，对行星轮系做如下假定：各行星轮的质量、转动惯量分别相等；各构件的支承刚度恒定；各处啮合刚度取时变啮合刚度的均值；忽略系统的阻尼和摩擦．

当系杆角速度较小时，科氏力、离心力均可忽略，则由式(14)可得系统的无阻尼自由振动方程为

与式(15)对应的特征值问题为

式中iω、iφ分别为系统第i阶固有频率和振型，且有

不失一般性，仍以文献[3]中的系统为例进行数值仿真，其基本参数如表1所示．此处假定各处啮合角、啮合刚度相等，且各构件的支承刚度也相等．

表1 NGW型直齿行星传动的基本参数Tab.1 Primary parameters of NGW spur planetary gear set

当行星轮个数为3、4和5时，求得系统各阶固有频率，如表2所示，其中m为固有频率的重根数．

进一步分析可知系统各阶固有频率对应的振型坐标．篇幅所限，仅给出行星轮个数为5时系统的振型坐标，如表3所示．

经归纳可知NGW型直齿行星传动存在3种典型振动模式，即中心构件扭转振动模式、中心构件平移振动模式和行星轮振动模式．

表2 系统各阶固有频率Tab.2 Natural frequencies of the system Hz

表3 修正模型与原模型振型比较Tab.3 Comparison of vibration mode coordinates between two models

以行星轮个数为5的系统为例，上述3种典型振动模式的振型分别如图4(a)～图4(c)所示．图中，实线为构件振动后的位置，虚线为构件的原始位置，实线段为各构件振动后的横轴线．为清晰计，图中未绘出系杆的位置．

进一步分析可得如下结论．

(1)中心构件扭转振动模式．当1m=时，各中心构件(太阳轮、系杆、内齿圈)仅做扭转振动，各行星轮做复杂平面振动，且各行星轮的的振动状态相同，而与行星轮个数无关．

(2)中心构件平移振动模式．当2m=时，各中心构件做平移振动，各行星轮做复杂平面振动且振动状态与行星轮个数相关．N=4时，行星轮振动状态呈轴向反对称；其他情况下行星轮振动状态各不相同．

图4 系统振动模式示意Fig.4 Vibration modes of the system

(3)行星轮振动模式．当m=N-1(N＞3)时，各中心构件不振动，仅行星轮振动且振动状态与行星轮个数相关．N=4时，行星轮振动状态呈轴向对称；其他情况下行星轮振动状态各不相同．

将本文的分析结果与文献[3]的分析结果对比，可以发现对于同一阶固有频率，采用两种模型所求解出的系统的振型坐标不尽相同．以N=4的传动系统为例，两种模型获得的系统部分振型如表3所示．由表3可知，模型修正前后，平移振动模式下系统同一阶固有频率所对应的各构件的振型坐标存在较大差异；相反，在中心构件扭转振动模式和行星轮模式下，两种模型所求的振型坐标完全一致．

5 结 语

在系杆随动坐标系下重新建立了NGW型直齿行星传动的平移-扭转耦合动力学模型，并通过自由振动分析归纳出系统的3种典型振动模式及相应的振动特征．与前人分析结果的比较表明，尽管两种模型所得的系统各阶固有频率相同，但是在中心构件平移振动模式下两种模型所求得的系统振型向量存在较大差异．相比之下，采用现有模型能更为准确地反映系统中各构件的振动特性，故可将本研究的结论作为后续动力学研究的基础，如动态激励响应分析、参数灵敏度分析和相位调谐振动抑制等．

［1］ Kahraman A. Natural modes of planetary gear trains[J]. Journal of Sound and Vibration，1994，173(1)：125-130.

［2］ Kahraman A. Load sharing characteristics of planetary transmissions[J]. Mechanism and Machine Theory，1994，29(8)：1151-1165.

［3］ Lin J，Parker R G. Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration[J]. Journal of Vibration and Acoustics，1999，121(3)：316-321.

［4］ Ambarisha V K，Parker R G. Suppression of planet mode response in planetary gear dynamics through mesh phasing[J]. Journal of Vibration and Acoustics，2006，128(2)：133-142.

［5］ Parker R G，Lin J. Mesh phasing relationships in planetary and epicyclic gears[J]. ASME Journal of Mechanical Design，2004，126(3)：365-370.

［6］ Wu X H，Parker R G. Modal properties of planetary gears with an elastic continuum ring gear[J]. ASME Journal of Applied Mechanics，2008，75(5)：1-12.

［7］ Ambarisha V K，Parker R G. Nonlinear dynamics of planetary gears using analytical and finite element models[J]. Journal of Sound and Vibration，2007，302 (3)：577-595.

［8］ Abousleiman V，Velex P. A hybrid 3D finite element/ lumped parameter model for quasi-static and dynamic analyses of planetary/epicyclic gear sets[J]. Mechanism and Machine Theory，2006，41(6)：725-748.

［9］ 王建军. 计入内齿圈弹性的直齿行星齿轮传动动力学研究[D]. 天津：天津大学机械工程学院，2006.

Wang Jianjun. Elastodynamics of Spur Planetary Gear Transmissions in Consideration of Ring Gear Flexibility [D]. Tianjin：School of Mechanical Engineering，Tianjin University，2006(in Chinese).

［10］ 刘 欣. 基于虚拟样机技术的直齿行星传动动力学研究[D]. 天津：天津大学机械工程学院，2007.

Liu Xin. Dynamics of Spur Planetary Gear Trains Based on Virtual Prototyping [D]. Tianjin：School of Mechanical Engineering，Tianjin University，2007(in Chinese).

Analysis of Free Vibration of NGW Spur Planetary Gear Set

ZHANG Jun，SONG Yi-min，ZHANG Ce，WANG Jian-jun
(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A translational-rotational-coupling dynamic model has been developed in the carrier-attached coordinate system to investigate the free vibration characteristics of NGW spur planetary gear set. The proposed model admits three degrees-offreedom for each component and includes the key factors affecting planetary gears vibration such as component bearing stiffness，time-varying mesh stiffness and gyroscopic effect. Through analysis of the displacement relationship between different components，differential equations of the system have been derived，and the natural frequencies and vibration modes of the planetary gear set have been obtained through solution of the associated eigenvalue problem. Based on the unique properties of the transmission system，the vibration modes of NGW spur planetary gear set can be classified into three categories，i.e.，rotational mode，translational mode，and planet mode. Comparison between the proposed and previous models indicates that the two models have the same natural frequencies but different mode shapes.As the deductive errors in the previous studies have been corrected，the proposed dynamic model can reveal the free vibration characteristics of the planetary gear system more accurately.

planetary gear transmission；dynamic modeling；free vibration

TH132.4

A

0493-2137(2010)01-0090-05

2009-04-20；

2009-09-06．

国家自然科学基金资助项目(50905122)．

张 俊（1981— ），男，博士，讲师．

张 俊，zhang_jun@tju.edu.cn．