吴忠强 刘力灵

燕山大学河北省工业计算机控制工程重点实验室,秦皇岛,066004

0 引言

欠驱动机器人是指独立控制输入少于系统自由度的机器人[1],对欠驱动机械臂而言,则是指某个或某些关节没有驱动装置,即关节是被动的,也称自由的。欠驱动机器人由于驱动器的减少而具有质量轻、成本低、能耗低等众多优点,因此成为机器人研究领域的新热点[2]。

欠驱动机器人的研究问题包括平衡流形控制、PTP控制、多臂协调操作,甚至其他更复杂的机器人工作任务。为了使欠驱动机器人能像全驱动机器人一样实现各种灵活的操作,人们基于不同的分析工具和方法,对这类非完整系统进行了深入的研究并提出了多种控制方案(如PID控制、自适应控制[3]、滑模变结构控制[2]、智能控制[1]、鲁棒控制[3]等),实现了对某些欠驱动机器人的有效控制。

自T-S模糊建模方法提出以来,基于模糊模型的控制方法已经成为解决某些非线性问题的强有力工具[4-7]。该建模方法通过IF-THEN规则将非线性系统描述为若干个线性子系统的动态组合,先针对线性子系统单独设计满足一定性能的控制器,然后在并行分布补偿[8](parallel distributed compensation,PDC)设计框架下构建全局控制器,用线性系统理论去分析并解决非线性系统的控制问题。近年来,系统的非脆弱性成为人们感兴趣的课题[9-12]。现有文献多考虑的是线性系统的非脆弱控制问题,对非线性机器人系统的非脆弱控制问题研究较少。

本文研究欠驱动机器人系统的非脆弱保性能H∞控制问题。利用LMI(linear matrix inequality)方法[13],给出模糊非脆弱保性能H∞控制器存在的充分条件,并证明了闭环系统的稳定性。最后用实例仿真验证了本方法的有效性。

1 欠驱动机器人动力学模型变换

机器人完整的动力学模型描述为

式中,M(q)∈ Rn×n为对称正定惯性矩阵;C(q,q◦)∈ Rn为向心力和哥氏力作用项;G(q)∈Rn为重力作用项;Γ∈Rn为力矩输入项;q、q◦、q¨分别为关节的位置向量、速度向量和加速度向量。

欠驱动机器人的动力学模型可以用以下分块形式表示

式中,下标a和o分别表示主动关节和被动关节。

由式(2)的第2行得

将式(3)代入式(2)的第1行得

由式(4)可知,适当选取主动关节控制输入Γa,就可以通过动力学耦合作用控制被动关节到设定角度。在此采用PD型计算力矩控制,控制律表示为

式中,kv、kp分别为恒定对角正定比例矩阵和微分增益矩阵;e为位置误差,eo=qo-qod;qod为关节期望位置。

将式(5)代入式(4)得误差方程：式(6)表明如果适当选择反馈增益矩阵k v、k p,位置误差可以渐近收敛到零,即可以实现被动关节的位置跟踪控制。

当被动关节到达期望位置时,锁定被动关节,系统的动力学模型(式(2))转化为

2 非脆弱保性能H∞控制器的设计

2.1 T-S模型的建立

系统(式(7))的T-S模糊模型描述如下：

式 中,Nij为 模 糊 集 合,j = 1,2,…,l;X1=为系统的状态;zj(t)为已知的前件变量;r为模型规则数;Ai和bi为适当维数的已知常数矩阵;ΔAi和Δbi表示系统的不确定性。

对所有的i,用中心平均法解模糊,可得系统模型：

式中,z(t)为向量,其中的元素为已知的前件变量;Nij[zj(t)]为zj(t)对于Nij的隶属度,并且hi[z(t)]≥0,

将式(10)代入式(9)得

假定式(11)中的 ΔA i和 Δb i有界,且满足如下约束条件I≤0(文中,矩阵后的符号“＞0、＜0、≥0、≤0”分别表示矩阵正定、负定、非负定、非正定),其中,D i、E1i、E2i为反映系统不确定性结构的矩阵;F1i为具有Lebesgue可测元素的未知矩阵。将(A i+ΔA i)Q d看作系统扰动 ω,则系统模型可写为

2.2 控制器的设计

采用PDC结构的模糊控制器,并考虑其脆弱性,有如下模糊控制规则：

整个系统的反馈控制律为

式中,ki为确定的反馈增益矩阵;Δki为控制器的参数变化,表示实现的不确定性。

考虑加法式增益摄动,即Δk i=D fi E fi F f i,其中,D f i、E f i为反映控制器不确定性结构的矩阵;Ffi为具有Lebesgue可测元素的未知矩阵,且满足FTfiF fi-I≤0。

则闭环系统全局T-S模型为

选被调输出φ(t)=X。

对系统(式(12))定义系统性能指标：

式中,Q、R为给定的正定加权矩阵。

在给出结论前先给出下列引理。

引理1[12](Schur补引理) 对给定的对称矩阵其中S11为m ×m维的矩阵。以下3个条件等价：

引理2[12]给定适当维数的矩阵Y、D和E,其中Y是对称的,则有

对所有满足FTF-I≤0的矩阵F成立,当且仅当存在常数ε＞0,使得

定理1 对于给定的系统(式(12)),式(14)的反馈控制律是一个非脆弱保性能H∞控制律,如果存在公共正定矩阵P和k i,使得下列不等式组成立：

式中,εij1、εji1、εij2、εji2、εi1、εi2、ε′、γ为正常数,

下面给出定理1的证明。

取Lyapunov函数

则

Aji=Aj+ΔAj+(bj+Δbj)(ki+Δki)

当 ω(t)为零矩阵时只需保证 Ψ1＜0,Ψ2＜0,则

由Lyapunov稳定性理论可知系统在无外部扰动时全局渐近稳定。对式(18)两边从t=0到t=T积分,因为系统渐近稳定,则X(∞)=0,所以我们可以得到J≤J*=XT(0)PX(0),即该控制律为非脆弱保性能控制律。

当ω(t)为非零矩阵时,对于给定常数γ＞0,有

对式(20)两端从t=0到 t=T积分,可得

因为V(X)≥0,则

即系统为H∞稳定的。

因为PP＞0则满足式(22)即可保证 ψ1＜0,ψ2＜0,即满足式(22)则可保证系统是非脆弱保性能 H∞稳定的。令 Φ1= Ψ1+I+PP/γ2,Φ2= Ψ2+2I+2PP/γ2。

下面先求解 Φ1＜0成立的充分条件：

应用引理2和Schur补引理我们可以得到Φ1＜0的充分条件为存在常数εi1＞0,使得式(24)成立：

将式(24)分解,并再次应用引理2和Schur补引理可得式(24)成立的充分条件为存在常数εi2＞0,使得式(25)成立：

将式(25)分解,并应用Schur补引理可得式(25)等价于：

式(26)两边分别左右乘diag(P-1,I,I,I,I,I,I,I),并令 θ=P-1,B i=k iθ,即得定理1中的式(16)。

下面求解使 Φ2＜0成立的充分条件。应用Petersen引理得

只需保证 Φij＜0且 Φji＜0便可以实现 Φ2＜0。与 Φ1＜0成立条件的求解过程相同,可以求得Φij＜0成立的充分条件为存在常数εij1＞0和εij 2＞0使得式(28)成立：

Φji＜0成立的充分条件为存在常数εji1＞0和εji2＞0使得式(29)成立：

式(28)与式(29)相加得到定理 1中的式(17)。定理1得证。

3 仿真研究

为验证上述方案的正确性,本节对两连杆串联机械臂中第一关节为被动关节的情况进行仿真试验。两连杆串联机械臂动力学方程如下：

式中,m1、m2分别为两杆的质量,m1=m2=1kg;L1、L2分别为两杆的长度,L1=1m,L2=2m;Lg1、Lg2分别为两杆的质心距,Lg1=0.5m,Lg2=1m;I1、I2分别为两杆的转动惯量,I1=0.083N◦m2,I2=0.330N◦m2。

针对此系统在控制的第一阶段,采用PD型计算力矩控制。控制器参数为kv=3,kp=5。

被动关节被锁定后,取z=|q1|/|q2|为前件变量,则可以构造如下T-S模型：

假定控制器存在可加性摄动,并且选择描述不确定性的矩阵为

选取Q为3维单位阵,R取1,应用定理1解LMI可以得到非脆弱保性能H∞控制器的参数

由图1可以看出,控制的第一阶段在PD型计算力矩控制器的作用下,第一关节可以有效实现位置跟踪。在t=5s时对其进行制动,并采用基于T-S模型的非脆弱保性能H∞控制器,使第二关节实现位置跟踪。由图2可以看出,控制的第二阶段在基于T-S模型的非脆弱保性能H∞控制器的作用下,即使系统具有扰动且控制器参数发生摄动,第二关节仍然可以在很短的时间内有效的实现位置跟踪。

图1 关节1位置误差曲线

图2 关节2位置误差曲线

4 结束语

针对欠驱动机器人系统,将非脆弱控制、保性能控制以及H∞控制结合,提出了基于T-S模型的欠驱动机器人非脆弱保性能H∞控制策略并进行了仿真研究。仿真结果表明被动关节锁定后,当系统具有外部扰动和控制器参数不确定性时,在基于T-S模型的欠驱动机器人非脆弱保性能H∞控制律的作用下,第二关节能够实现位置跟踪。

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