王艾伦 黄 飞

中南大学现代复杂装备设计与极端制造教育部重点实验室,长沙,410083

0 引言

叶片—轮盘结构简称叶盘结构,是叶轮机械的关键部件。理论上,它是一种循环周期结构,其模态振型会均匀地沿圆周方向传递至整个结构,但实际上,材料缺陷、制造误差以及使用磨损等因素,往往导致叶片的形状、刚度和质量等参数沿周向分布不完全相同,引发失谐。失谐可能造成叶盘结构的振型沿周向不再均匀分布,某些叶片的响应幅值过高,即出现振动局部化现象[1]。

在过去几十年里,由于叶片趋向于薄尺寸、轻质量和小展弦化,以及整体叶盘结构开始运用于叶轮机械等因素,从而增加了叶盘结构对失谐的敏感程度,导致因叶片振动引起的高周疲劳失效(high cycle fatigue,HCF)时有发生。为降低叶片HCF故障风险,预测叶盘结构在失谐情况下的响应,人们对失谐叶盘结构的振动特性以及带来的影响做了大量研究,并取得了很多重要的成果[2-4]。然而,人们通常都假定叶盘结构失谐是由叶片随机、微小的差异引发的,对于因制造误差等因素引发的失谐来说这种假设是很合理的。但是,由于叶片工作条件恶劣,长期承受巨大的离心力和气流等静动载荷作用,故工作中的某些叶片会出现裂纹[5-7]。显然,由裂纹叶片引发的失谐比由制造误差等因素引发的随机失谐要严重得多。裂纹会导致叶片固有频率降低,急剧地改变叶盘结构动态特性。许多学者对含有裂纹的单个叶片振动特性做了深入研究[8-9],却很少有人对裂纹叶片引发的叶盘结构失谐进行研究。直到最近两年,国外才有相关论文发表。如Fang等[10]研究了含一个裂纹叶片的叶盘结构振动局部化问题,并探讨了耦合度、裂纹深度以及激振力形式变化对失谐叶盘结构振动局部化程度的影响;Hou[11]对裂纹叶片引发叶盘结构失谐的机理做了较详细的研究,并分析了含一个裂纹叶片的失谐叶盘结构的振动特性。以上研究几乎都针对含一个裂纹叶片的情况,很少有人对多个裂纹叶片引发失谐的叶盘结构振动特性进行研究。在实际工程中,裂纹往往同时出现在好几个叶片上,故有必要对多个裂纹叶片引发的叶盘结构失谐问题进行探讨。由于裂纹的产生具有随机性,这里仅考虑两个位置相对特殊的相间裂纹叶片的情况。

本文基于集中质量叶盘结构模型,研究含两个相间裂纹叶片的失谐叶盘结构的振动特性。

1 含两个相间裂纹叶片的失谐叶盘结构的振动方程

图1所示为集中质量叶盘结构的物理模型。假定轮盘是半径为r的刚性轮盘,N个叶片模拟为固定在轮盘上的集中质量梁,m b,i、k b,i和c b,i分别为第i个叶片(i=1,2,…,N)的质量、刚度和黏性阻尼,所有叶片的质量和黏性阻尼均相等,其值分别为m b和c b。在谐调情况下,叶片刚度为k b,c c、k c分别代表叶片间阻尼和各种耦合刚度。现假定第i个叶片上含有穿透型裂纹,并定义第i个裂纹叶片的失谐度为

式中,ωb,i为第i个裂纹叶片固有频率;ωb为叶片固有频率。

在不考虑非线性因素以及叶片间阻尼的情况下,推导出第i个裂纹叶片振动方程：

式中,R为叶盘结构的耦合度;ωc为等效耦合频率;xi为第i个裂纹叶片的振动位移;ξ为黏性阻尼比;Fi(t)为作用于第i个裂纹叶片的激振力。

图1 集中质量叶盘结构物理模型

气流经过非旋转部件和旋转部件时受到扰动,通常在叶盘结构的叶片上形成近似和谐形式的激振力,故第i个叶片上的激振力可假定为如下形式[12]：

式中,ω为激振力频率;θ为激振力相位角,θ=2πE0/N;E0为激振力阶次;F0为激振力幅值。

对于循环对称结构有x0≡xN,x1≡xN+1,故含N个裂纹叶片的失谐叶盘结构整体振动方程可用矩阵形式表示：

这里只考虑含两个相间裂纹叶片的情况,不妨假定只有第1、3个叶片含有裂纹(N阶矩阵A中仅R21≠1+2R2,R23≠1+2R2,即仅δ1、δ3不为零)。采用实模态理论的模态叠加法可得第i个叶片的振动位移：

式中,ωN,k、Φk分别为含两个相间裂纹叶片的叶盘结构第k阶固有频率和第k个特征向量;φi,k为第k个特征向量的第i个元素。

由以上推导可知,只要计算出裂纹叶片的固有频率就能得到叶片的振动位移。文献[12]采用裂纹位置固定的集中质量悬臂梁模型推导了裂纹叶片的固有频率,但其求解裂纹叶片的局部柔度系数方法有待改进,且模型仅考虑了裂纹位于叶根的情况,无法研究裂纹位置改变对叶片固有频率的影响。为推出裂纹参数与叶片固有频率之间的准确关系,本文将裂纹叶片模拟为如图2所示的含裂纹的集中质量悬臂梁,其等效集中质量为mb,长度为L,宽度为b,厚度为h,裂纹深度为a,距离自由端长度为l。设叶片的固有频率为ωb,裂纹叶片的固有频率为ωrb,由图2含裂纹集中质量悬臂梁物理模型并结合文献[13]相关结论,ωb与ωrb的关系可表示为

式中,E为悬臂梁弹性模量;I0为梁横截面惯性矩;C为裂纹叶片的局部柔度系数。

图2 含裂纹集中质量悬臂梁物理模型

由式(6)～式(12)可推导出裂纹叶片的固有频率与裂纹深度以及裂纹位置的关系。

2 含两个相间裂纹叶片的失谐叶盘结构振动特性

2.1 失谐叶盘结构的固有特性

基于图2所示物理模型,设定结构参数如下：b=85mm,h=5mm,L=170mm,m b=0.37kg,根据叶盘结构实际工况,裂纹一般发生在叶根,故仅考虑裂纹位于叶根的情况(l=L)。并定义裂纹深度与叶片宽度的比值(a/b)为裂纹深度比,其取值范围为0(不含裂纹的情况)到0.7(裂纹深度为叶片宽度的70%),频率比表示含裂纹的叶片固有频率与叶片固有频率的比值。将上述参数代入式(6)～式(12)可以得到裂纹深度比与叶片固有频率之间的关系,如图3所示。从图3可以看出,叶片固有频率随着裂纹深度比单调减小,且当裂纹深度比较小时,叶片固有频率变化不明显。

下面仅考虑具有12个叶片(N=12)的叶盘结构,并对所有叶片按顺时针方向进行编号,如图4所示,其中1号和3号叶片根部有完全相同的穿透型裂纹。

图3 叶片固有频率与裂纹深度比的关系

图4 具有12个叶片的叶盘结构叶片序号

图5 反应了处于不同耦合条件下,叶盘结构固有频率随裂纹深度比的变化规律。从图5可以看出,当叶盘结构处于弱耦合和中等耦合条件下,随着裂纹深度比增大,叶盘结构基频 f 1逐渐降低,第一对重固有频率 f2、f3发生明显分离。在强耦合条件下,叶盘结构各阶固有频率几乎保持不变。与仅含一个裂纹叶片的失谐叶盘结构固有频率变化情况[11]比较分析可发现,在弱耦合和中等耦合条件下,两个相间裂纹叶片引起叶盘结构重固有频率对发生显著分离,而在强耦合条件下,叶盘结构的固有频率对裂纹叶片个数变化不敏感。由此可见,即使叶盘结构出现了两个裂纹叶片,在裂纹深度比较小或结构处于强耦合条件下,通过检测叶盘结构固有频率来监测裂纹是不科学的。

图6显示了在不同耦合条件下叶盘结构一阶固有振型随裂纹深度比的变化规律,其中Ai为裂纹叶盘结构的叶片振幅,A0为谐调叶盘结构的叶片振幅。由图6可知,叶盘结构一阶固有振型的局部化程度随着耦合度增大而减弱。通过与含有一个裂纹叶片的叶盘结构一阶固有振型变化情况[11]比较可知,模态局部化现象都发生在引发叶盘结构失谐的裂纹叶片上,且含两个相间裂纹叶片的叶盘结构模态局部化现象更加严重,模态更加复杂。

图5 叶盘结构固有频率与裂纹深度比的关系(f i为叶盘结构第i阶固有频率)

图6 叶片相对振幅与裂纹深度比的关系

图7 裂纹叶片对叶盘结构动态响应特性的影响(E=3,R=0.12,a/b=0.15)

2.2 失谐叶盘结构的响应特性

图7 表明了含有两个相间裂纹叶片、含一个裂纹叶片和不含裂纹叶片的叶盘结构叶片最大响应幅值与激励频率之间的关系。从图7可以看出,含两个相间裂纹叶片的叶盘结构频响曲线出现多个峰值,共振频率下移,共振区域变宽。这是由于两个相间裂纹叶片导致叶盘结构基频降低和重固有频率对显著分离,进一步增大叶盘结构的振动响应局部化程度。显然,两个相间裂纹叶片的出现使叶盘结构动力响应特性更加复杂。

图8所示为含两个相间裂纹叶片的失谐叶盘结构的叶片振幅放大因子,随裂纹深度比的变化规律。振幅放大因子定义为在共振区域内失谐叶盘结构的叶片最大振幅与谐调叶盘结构的叶片最大振幅的比值。图8表明,随着耦合度增大,失谐叶盘结构的奇数号叶片振幅放大因子趋于1、3号叶片振幅放大因子,偶数号叶片的振幅放大因子趋于2、8号叶片振幅放大因子。通过与含一个裂纹叶片的失谐叶盘结构振幅放大因子变化情况[11]比较分析可知,两个相间裂纹叶片的出现使失谐叶盘结构的叶片振幅放大因子随裂纹深度比的变化明显,但裂纹叶片的振幅放大因子并没有发生突变。尤其值得注意得是,位于两个相间裂纹叶片之间的叶片(2号)以及与其相隔180°的叶片(8号)对裂纹深度比的变化极不敏感,而且初步研究表明该结论具有普遍性。

图8 叶片振幅放大因子与裂纹深度比的关系(E=3)

3 结论

(1)对文献[12]中求解裂纹叶片的局部柔度系数方法进行了改进,考虑了裂纹位置对叶片固有频率的影响,得到了裂纹叶片的固有频率与裂纹深度以及裂纹位置的准确关系。

(2)模态局部化现象都发生在引发叶盘结构失谐的裂纹叶片上,且含两个相间裂纹叶片的失谐叶盘结构模态局部化现象更加严重,模态更加复杂。

(3)两个相间裂纹叶片导致叶盘结构重固有频率对显著分离,进一步增大失谐叶盘结构的振动响应局部化程度,从而使叶盘结构的振动特性更加复杂,导致叶片过早的HCF失效。

(4)在共振区域内,随着裂纹深度比的增加,含两个相间裂纹叶片的失谐叶盘结构的绝大多数叶片振幅变化明显,但出现两个对裂纹深度变化极不敏感的特殊叶片,这可为工程中裂纹叶片的检测提供理论依据。

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