贾秋红 廖林清 屈 翔 肖 燕

1.西南交通大学,成都,610031 2.重庆理工大学,重庆,400050

0 引言

通常的结构分析模型是建立在确定性物理意义上的,即把分析过程中各种因素作为确定性物理量来进行处理,但是在实际工程中,存在许多的不确定因素[1]。在结构的分析和设计中,需要合理地定量处理影响其性能的各种不可避免的不确定性,可靠性分析与这些不确定性紧密相关。传统的随机可靠性和模糊可靠性方法都需要用到不确定参量的分布函数(分别为概率密度函数和隶属函数),因此概率可靠性和模糊可靠性应用的基本前提是大量样本的存在或事件具有可重复性,并能定义出其分布模型或隶属函数。当缺乏足够的数据信息来准确定义变量的概率分布式时,概率模型参数(均值和方差)小的偏差可导致计算结果出现很大误差,甚至导致严重的后果[2]。实际上在很多情况下,很难得到不确定参量的精确概率数据。

正是由于随机可靠性和模糊可靠性存在的这些局限性,非概率的集合模型的研究引起了人们的重视。Ben-Haim[3]于1994年首次提出了基于凸集理论非概率可靠性的概念,其可靠性模型认为结构系统在失效前如果能承受较大数量的不确定性,则系统是可靠的;相反,如果结构系统对于不确定性是脆弱的,则认为该系统是不可靠的。Elishakoff[4]于1995年在针对此概念的讨论中提出了一种可能的度量方法,认为非概率可靠性同不定参量一样,属于某一区间,提出的可靠性指标是一区间而非一具体量值,区间的边界是根据传统的安全因子进行区间运算求得的,此法实际上是传统的安全因子法和区间算法的简单结合。邱志平等[5-6]利用集合理论中凸集合间的偏序关系,来定义凸模型的判别准则,并给出了新的非概率稳健可靠性设计的判别准则。郭书祥等[7-10]、吕震宙等[11]提出了一种基于区间模型的稳健可靠性设计方法和非概率可靠性的度量方法。汽车半轴设计过程同样存在不确定参数。本文在前人对于非概率可靠性研究的基础上,结合区间数的运算法则和可靠性设计方法,导出了多区间变量非线性函数的可靠性度量公式,研究了汽车半轴的非概率可靠性模型的区间分析方法。

1 区间数及其运算法则

非线性问题的区间分析法能综合考虑初值所具有的误差和不确定性,可计算出非线性问题的解,对解的存在性具有计算检验的优点。

2 多区间变量的非线性函数的可靠性度量

设问题中的不定参量可用区间限界。X={x1,x2,…,xn}表示与结构有关的基本区间变量的集合。其中,xi∈ xIi(i=1,2,…,n)。同随机可靠性问题一样,取

F为由结构的失效准则确定的功能函数(或极限状态函数),当g(◦)为区间变量X的连续函数时,F也为一区间变量。设其均值和离差分别为Fc和Fr,并令

失效面g(X)=0将不定参量空间分为失效域Ωf={X ：g(X)＜0}和安全域 Ωs={X ：g(X)＞0}两部分：

由式(2)可知,量纲一量η的值越大,结构的安全程度越高,因而可用η作为结构安全可靠程度的度量。

文献[12]中已对两个区间变量的功能方程和多区间变量线性函数的功能方程的可靠性度量方法进行了详尽的分析说明,但未对多区间变量的非线性函数的功能方程可靠性方法进行分析。以下将对多区间变量的非线性函数功能方程的可靠性度量方程进行推导说明。

考虑功能方程：

式中,ri、sj为不相关区间变量;ai、bj为常数。

式中,Rcc、Rrc分别为rc的均值和离差;Scc、Src分别为Sc的均值和离差;δrc、δSc为标准化区间变量。

由

可推得

则功能方程式(4)可标准化为

显然,功能函数在标准化区间变量δrc、δSc组成的新空间内的可靠性指标可定义为

3 汽车半轴的非概率可靠性模型的区间分析法

汽车半轴是差速器和驱动轮之间传递动力的实心轴,通常其内端与差速器内的半轴齿轮连接,外端与驱动轮的轮毂相连,当存在轮边减速器时,则与轮边减速器的主动齿轮相连。半轴的主要作用是传递扭矩,由于安装结构的不同,一些类型的半轴除传递扭矩外,还承受弯矩的作用。本文以受弯扭复合载荷作用的汽车半轴为例建立其非概率可靠性模型,并用区间分析法进行求解。设轴上所受的扭转应力τ和弯曲应力σ分别为

式中,T为半轴所传递的扭矩;M为半轴危险截面的弯矩;d为半轴的直径。

根据第四强度理论,得复合应力s为

得以应力极限状态表示的功能方程为

根据式(7)得

再根据式(9)得

4 算例分析

某型汽车半轴危险截面直径d=12mm,该截面所受的扭矩和弯矩分别为：T∈[1.04×105,1.24×105]N◦mm,M ∈[1.33×104,1.53×104]N◦mm,其半轴材料的强度r变化范围是[788,852]MPa。

汽车半轴的极限状态功能方程见式(13),将其标准化处理后如下式：

按照式(14)解得其可靠性指标为

根据得出的η值,可以计算汽车半轴应力s的安全变化范围。假设r的取值范围不变,ηc取临界值1,解得Sr=199.97MPa,得出汽车半轴的最大应力Su=Sc+Sr=493.99MPa。该计算结果对于汽车半轴可靠性设计具有实际的参考指导价值。

5 结束语

概率可靠性模型、模糊可靠性模型和非概率可靠性模型用于解决不同类型的不确定性问题。当具有足够数据描述不确定参数的概率特性时,可采用概率可靠性方法。当掌握的不确定性数据较少时,可采用非概率可靠性模型。区间分析方法作为一种非概率分析方法在统计信息不足以描述不确定参数的概率分布或隶属函数、工程单位仅提供不确定参数的区间范围而需获得结构响应的区间范围时有很大的优势。对于汽车半轴的可靠性设计而言,本研究提供了一种新的方法。本文通过给定参数的区间数,分析推导了多区间变量的非线性函数的可靠性度量方法,得出了汽车半轴在设定功能函数下的非概率可靠性区间分析方法,对汽车半轴及其他零部件的可靠性设计具有理论价值。

[1] 邱志平.非概率集合理论凸方法及其应用[M].北京：国防工业出版社,2005.

[2] Elishakoff I.Essay on Uncertainties in Elastic and Viscoelastic Structures：from A.M.Freudenthal's Criticisms to Modem Convex Modeling[J].Computers and Structures,1995,56(6)：871-895.

[3] Ben-Haim Y.A Non-probabilistic Concept of Reliability[J].Structural Safety,1994,14(4)：227-245.

[4] Elishakoff I.Discussion on a Non-probabilistic Concept of Reliability[J].Structural Safety,1995,17(3)：195-199.

[5] 邱志平,陈山奇,王晓军.结构非概率鲁棒可靠性准则[J].计算力学学报,2004,21(1)：1-6.

[6] 邱志平,顾元宪.有界不确定参数结构静力位移范围的区间参数摄动法[J].兵工学报,1998,19(3)：255-258.

[7] 郭书祥,吕震宙.基于非概率模型的结构稳健可靠性设计方法[J].航空学报,2001,22(5)：451-453.

[8] 郭书祥,吕震宙,冯元生.基于区间分析的结构非概率可靠性模型[J].计算力学学报,2001,189(1)：56-60.

[9] 郭书祥,张陵,李颖.结构非概率可靠性指标的求解方法[J].计算力学学报,2005,22(2)：227-231.

[10] 郭书祥,吕震宙.结构体系的非概率可靠性分析方法[J].计算力学学报,2002,19(3)：332-335.

[11] 吕震宙,冯蕴雯,岳珠峰.改进的区间截断法及基于区间分析的非概率可靠性分析方法[J].计算力学学报,2002,19(3)：260-264.

[12] 欧伯群.Fuzzy数中区间数的乘方与开方[J].广西教育学院学报,2000(4)：95-97.