相依随机事件的度量指标

2010-05-22严忠权

统计与决策 2010年3期

严忠权

（黔南民族师范学院，贵州都匀 558000）

0 引言

对随机变量相依性度量的研究和文献很多，常见的有度量变量线性相依的Pearson相关系数[1]，基于Copula的非线性相依变量的度量指标 kendall’s tau,Spearman’s rhos、Gini’s系数等[2]，且这些相依性度量指标在金融、保险、可靠性理论、统计推断与决策等方面得到了广泛应用[3]。纵观所有文献，对随机事件的相依性度量仅有张尧庭的《定性资料的的统计分析》[4]联中将随机事件变量化用列联表，通过卡方检验讨论二事件间的相依与独立。何蕴理[5]对相依事件的度量作了一个简单讨论，在概率与统计的其它文献中仅在讨论独立随机事件时提及“当两个事件不独立时称之为相依”这一概念，没有给出二相依随机事件的度量指标，而相依随机事件却大量存在，建立怎样的指标来度量两个随机事件的相依性及相依程度，这显然是一个很有实际意义和理论意义的问题，本文给出了度量两个相依随机事件的三个相依度量指标：关联系数、相依系数和相关系数，论述了这三个指标的性质，从三个指标所具有的性质可见三个指标定义的合理性和科学性。

1 相依随机事件的关联系数

定义1 设A，B是同一样本空间下的两个随机事件，若P（A∩B）=P（A）P（B），则称随机事件 A，B 相互独立。若 P（A∩B）≠P（A）P（B），则称随机事件 A，B 是相依的。

定义2 设A，B是同一样本空间下的两个随机事件，称数量 δ（A，B）=P（A∩B）-P（A）P（B）为随机事件 A 与随机事件B的关联系数。若δ（A，B）＞0，则称随机事件A与随机事件B是正相依的，若δ(A,B)＜0,则称随机事件A与随机事件B是负相依的。

由关联系数的定义可得如下基本性质：

定理1 设A,B是同一样本空间下的两个随机事件，则A与B的关联系数具有性质：

（1）δ（A，B）=0当且仅当随机事件A与随机事件B相互独立；

（2）δ（A，B）=δ（B，A）；

（4）δ（ΣAj，B）=Σδ（Aj，B）(ΣAj表示有限或可数个两两相互排斥的事件）；

（5）δ（A∪C，B）=δ（A，B）+δ（C，B）-δ（A∩C,B）。

证明：（1）、（2）由 δ（A，B）的定义显然成立。

（4）：对于有限或可数个两两相互排斥的事件Aj,j=1,2,…，有

(5):δ（A∪C，B）=P(A∪C)∩B)-P(A∪C)P(B)=P((A∩C)∪(C-B))-P[P(A)+P(C)-P(A∪C)]P(B)=δ（A，B）+δ（C，B）-δ（A∩C，B）

证毕。

由关联系数的定义和定理1有：对任意两个随机事件通过关联系可知它们是独立、正相依、负相依。且两个随机事件独立当且仅当它们的关联系数等于零，关联系具有对称性和类似概率可加性。除此之外，关联系数还有如下系列性质。

由关联系数定义可得如下性质。

系 1：若 A⊂B，A≠φ,则 δ（A，B）=P(A)=P(A)＞0，即若 A⊂B，A≠φ，则随机事件A与随机事件B是正相依的；若A与B是互斥事件且均不是不可能事件，则δ（A，B）＜0，即互斥事件是负相依的。后面将会看到，其逆不真。

系3：由乘法公式和关联系数的定义有：P(A|B)=P(A)+，从这一表达式可知，当A与B是正相依时，在其中一事件发生的情况下会使另一个事件发生概率增大，而当A与B是负相依时，其中一个事件发生的情况下会使另一个事件发生的概率减小。

定理2 同一样本空间下的任意两个两个随机事件A与B的关联系数满足不等式max{-P(A)P(B),-[1-P(A)][1-P(B)]}≤δ （A，B）≤min{P(A)[1-P(B)]，[1-P(A)]P(B)}称之为Freshe-Hoefding不等式。由此得δ（A，B。

由定理1（3），可得如下性质：

系 2：δ（A，A）=-δ（A，A） =P(A)[1-P(A)]，即任一事件与它自身是正相依的，而与它的对立事件是负相依的；δ（A，B）=δ（A，B），即任一事件组与它的对立事件组有相同的相依性。

证明：因为 P(A∩B)≤min{P(A),P(B)}，所以有

δ（A，B）=P(A∩B)-P(A),P(B)≤P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]同时又有：δ（A，B）≤P(B)[1-P(A)]

所以有 δ（A，B）≤min{P(A)[1-P(B)],[1-P(A)]P(B)}

另一方面：由 P(A∩B)≥0、P(A∪B)≤0 有：

δ（A，B）=P(A∩B)-P(A)P(B)≥-P(A)P(B)和

因此有 δ（A，B）≥max{-P(A)P(B),-[1-P(A)][1-P(B)]

如果我们对任一事件A发生与不发生用一个示性指标变量表示：当事件A发生时令IA=1，当事件A不发生令IA=0，则有 E(IA)=P(A)，且

Cov(IA,IB)=E(IA,IB)-E(IA)E(IB)=E(IA∩B)-P(A)P(B)=δ（A，B）

因此，两个随时机事件的关联系数是它们的示性指标变量的协方差。

关联系数描述了两个事件的相依关系：独立、正相依、负相依，不能描述两个随机事件的相依程度，因为两个随机事件最强相依应是在A=B的情况，此时，它们的关联系数为

δ（A，B）=P(A)-P2(A)

假如有 A=B 且 P(A)=0.05，则 δ（A，B）=0.0475，又假如 P(A)=0.3,P(B)=0.4，P(A|B)=0.6 则 δ（A，B）=(0.6-0.3)(0.4)=0.12。显然，后者没有前者的相依性强，而后者的关联系数却比比前者的要大。为此，我们定义一个相依度系数用来度量相个随机事件的相依程度。

2 二随机事件的相依系数

由条件概率P(A|B)的定义，当P(B)=0时，条件概率P(A|B)没有定义，为了定义相依度系数，我们规定，当P(B)=0时，P(A|B)=P(A)。

定义3 对同一样本空间下的任意两个两个随机事件A与B，定义rB(A)=P(A|B)-P(A|B)为事件A关于事件B的相依度系数（简称相依系数）。

由相依系数的定义可得计算公式：

由相依系数的定义我们有

定理3 设A、B是同一样本空间下的两个随机事件，则它们的相依系数具有如下性质：

(1)rB(A)=rA(B)=0成立当且仅当与相互独立；

(2)rA(A)=1，rA(A)=-1；

(3)rS(A)=rφ(A)=0；

(4)rB(ΣAj)=ΣrB(Aj)；

(5)对任意的 A≠B 有 rB¯(A)=-rB(A)，rB)=-rB(A)；

(6)对任间两个随机事件 A、B 有-1≤rB(A)≤1；-1≤rA(B)≤1。

由相依系数的定义和定理3可得如下的系。

系4：

(1)当 rB(A)=1 时，由 rB¯(A)=P(A|B)-P(A)的定义，当且仅当 P(A|B)=1，P(A)=0，由此得到 A=B，此时也有 rA(B)=1。因此当rB(A)=rA(B)=1时，A与B最强正相依（当A=B时称A与B最强正相依）。

（2）同理，当 rB(A)=-1 时有 B=，当 rA(B)=-1 有 A=，此时表明A与B是最强负相依。

（4）等式rB(A)=rA(B)成立的充分必要条件是P(A)[1-P(A)]=P(B)[1-P(B)]。

（5）由 rB(A当A与B是正相依时有rB(A)＞0、rA(B)＞0，而 A当 B与负相依时有 rB(A)＜0、rA(B)＜0。

（6）当 A⊂B 时，δ（A,B）=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)＞0，则 A与B正相依，且由rB(A)=P(A)/P(B)，则有A关于B的相依系数随事件A发生的概率增大而增大且有rB(A)→1（表示向着1方向变化）。与此同时，，rA(B)=P()。从而 B 关于 A的相依系数是随事件B的概率的增大而减小。

（7）当 A∩B=φ 时，δ（A,B）=-P(A)P(B)，即 A 与 B 互斥时，A与B负相依，且由rB(A)=-P(A)/P)，则有A关于B的相依系数的绝对值随事件A的概率的增大而增大且有rB(A)→-1。同样的rA(B)=-P(B)/P(A)，此B关于A的相依系数的绝对值也是随事件B的概率的增大而增大且有rA(B)→-1。

（8）当A∩B≠φ时，A与B可以是正相依也可以是负相依。例如：若P(A)=P(B)=0.5，P(A∩B)=0.3,此时A与B是正相依的；但若P(A)=P(B)=0.5，此时A与B是负相依的。

由由定理3和系3可知，相依系数是相依性度量的一个有效指标，正负相依和相依系数的绝对值的变化是与A⊂B，A⊂B，A∩B≠φ以及两个事件独立的程度变化是一致的。

按照相依系数与零的距离，可将随机事件的相依性分为五个等级：当|rB(A)|≤0.05时，A与B几乎独立；当0.05＜|rB(A)|≤0.2时，A 与 B为弱相依；当 0.2＜|rB(A)|≤0.45时,A 与 B为适度相依；当0.45＜|rB(A)|≤0.8时，A与B为一般相依的；而当0.8＜|rB(A)|时为强相依的。有了这五个级后，我们在作统计推断决策时就可采用相应的策略。

定理4 相依系数具有下列不等式：