江苏省邳州市铁富高级中学（221300） 孟凡光

摭谈数学思想与方法在解答地理选择题时的应用

江苏省邳州市铁富高级中学（221300） 孟凡光

众所周知，数学是一门实用性很强的工具性学科，它的一些重要的数学思想（如数形结合思想、化归思想、方程思想与分类讨论思想等）及具体的解题方法，既可有效地解答各类数学问题，也可以用于解决其它学科的疑难问题。结合具体实例，本文着重探讨数学思想与方法在地理选择题解答过程中的应用，籍此提高地理习题课的教学效率，拓宽学生的思维，同时也可加深学生对某些数学方法、数学思想的理解。

一、赋值法：

是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。

例题（2010高考江苏卷）图2为6月22日与12月22日地球表面四地正午太阳高度。读图回答3～4题。

3．四地按地球自转线速度由大到小排列，依次是

A．甲、乙、丙、丁 B．乙、丙、丁、甲

C．丙、丁、甲、乙 D．丁、甲、乙、丙

4．四地自北向南排列，依次是

A．甲、乙、丙、丁 B．甲、丙、丁、乙

C．丁、乙、丙、甲 D．甲、丙、乙、丁

解析本题组解答的关键在于判断出甲、乙、丙、丁四地的纬度。虽然通过定性分析，我们可以解出正确答案，但容易产生误判。除丙地6月22日的正午太阳高度可明确判断为90°外，由图我们只能判断出其它三地冬、夏至两天与甲地12月22日的正午太阳高度取值区间。如果通过合理的赋值，可以求出甲、乙、丁三地的大致纬度。根据甲、乙、丁三地正午太阳高度取值区间，我们可对6月22日这天三地正午太阳高度进行赋值分别为：55．5°、50．5°、20．5°；同时由12月22日这一天的正午太阳高度大小，我们大致可判断出甲、丙两地同在北半球，而乙、丁两地则同在南半球。所以经过简单计算,我们可求出甲、乙、丙、丁四地的纬度分别为：48°N、16°S、23．5°N、46°S。

点评赋值法的优势：一是变定性分析为定量计算，提高了了问题解答的准确性；二是减少了定性分析时可能产生的判断失误。但需注意的是所赋的数值必须先要满足题干给出的条件。

二、代入法

亦称代入消元法，是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数,得到一个解。除了求解各种函数方程外，这种方法在解答选择题时也有独特的作用，特别是在题干给出的条件无法直接求出所需解答的问题时，可将选择题各备选项中的答案作为解答问题的一个条件，而将题干中的某一条件作为问题的答案加以验证。

例题（2009届高三徐州六县联考）图2所示区域位于南半球，弧线M为纬线， N为晨昏线，阴影为黑夜；甲乙两地所在经线的经度为100°E；甲地此日正午太阳高度为30°，读图2回答5～7题。

5．此时太阳直射点的地理坐标是

A．100ºE,15ºS B．80°W,15ºS

C．100ºE,23º26′S D．80ºW,23º26′S

6．若图中乙点此时的太阳高度是10º，则乙点的地理纬度和正午太阳高度分别为

A．76º34′S, 36º52′ B．85ºS, 10º

C．76º34′S, 20º D．85ºS, 20º

7．一架飞机自①地起飞，沿图中直线行驶至②地，其飞行方向是

A．自西向东 B．自东向西

C．先东南后东北 D．先东北后东南

解析本题组的5、6两小题为条件相关题，只有正确解答出第5小题，才能找出解答第6小题的条件。第5小题，可根据条件先求太阳直射点的经度。由图可知，甲、乙两点所在的经线平分认夜半球，其地方时为0：00，故此时太阳直射点不在该经线上，而只能在80°W经线上。在求太阳直射点纬度时，我们将面临这样一个困境：因为本题只能根据正午太阳高度的计算来求太阳直射点的纬度，而要求太阳直射点的纬度，就必须先已知一个地点的纬度和该地的正午太阳高度。如果学生对于与晨昏线相切纬线的纬度和太阳直射点的纬度这二者的关系不甚了解的话，仅根据甲地的正午太阳高度无法求出此时太阳直射点的纬度。

由于该题的四个备选项中关于太阳直射点的纬度只有两种情况，所以这时采用代入法解题就显得格外的简便。先选择23º26′S作为正确答案代入到题目条件中，我们知道当太阳直射南回归线时，晨昏线与南极圈相切，南极圈内出现极昼现象。由图2看出，甲地位于与晨昏线相切的纬线上，且该纬线以南地区出现极昼现象，故可判断甲地所在的纬线为南极圈。经计算可知，此时南极圈上的正午太阳高度为46º52′，而这一结论与题设条件甲地正午太阳高度为30º相矛盾。因此这一答案错误，需排除。所以只能选择15ºS，经验证，该选择为正确答案。

点评在解答条件不足的情况下，代入法为我们提供了一种较好解题思路。经常运用这种方法进行解题，可以有效地培养学生逆向思维能力。

三、极值法

就是通过对研究对象或变化过程的分析，提出一种或多种极端情况的假设，并针对各极端情况进行计算分析，从而确定极值区间，最终依据该区间做出判断的方法。

例题 （2009年高考江苏卷）图2所示为以38°N、0°为极点的陆地相对集中的“陆半球”(另一半球为“水半球”)。读图回答3～4题。

3．“水半球”的极点位于

A．北半球、东半球

B．北半球、西半球

C．南半球、东半球

D．南半球、西半球

4．当夜半球与“陆半球”重叠最多时

A．非洲全部位于昼半球

B．北京市正值下班高峰

C．南极昆仑站处于极昼期

D．江苏各地太阳高度达一年中最大值

解析解答本题组的第四小题，对于大部分学生来说都比较困难。由题干及四个备选项的内容可以看出，本题是一个关于时间判读的问题，其中A、B两个选项需判断地方时，C、D两个选项需判断具体季节。只有根据题设条件判断出“当夜半球与陆半球重叠最多时”某地是什么季节，地方时是什么时候，才能作出正确的解答。而要判断这些时间，就必须先找出这时太阳直射点在什么位置。大部分学生无法直接根据所给的题设条件判断出什么时候陆半球与夜半球重合最多，或者陆半球与夜半球重合最多时太阳直射点的位置在哪。由于陆半球与夜半球重合的范围是在一个特定的区间不断变化的，所以我们可以利用极值法来解答该题。假设当陆半球与夜半球完全重合时，此时水半球与昼半球完全重合，即水半球的极点与昼半球的中心点——太阳直射点完全重合。因为陆半球与水半球的极点为对趾点，所以此时太阳直射点的坐标为180°，38°S。但实际上，太阳直射点只能在南、北回归线之间往返移动，所以水半球与昼半球重叠最多时（亦即陆半球与夜半球重叠最多时），太阳直射点坐标只能是180°，23°26′S。据此我们可以判断出：此时节气为冬至日，180°经线的地方时为12：00。

点评 本题如果让学生直接判断何时陆半球与夜半球重叠最多，对于绝大多数学生来说恐怕比较困难，如果顺着从陆半球与夜半球完全重叠到二者重叠最多这个思路进行分析，问题就会迎刃而解。

四、数形结合思想与精确图解法

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。而精确图解则是用精确作图来解答代数问题的一种方法。

例题（2008年南京市高三质量检测）下表为“某城市各类土地利用付租能力统计表”，据此回答19～20题。

19．该城市商业区外缘距离市中心的距离约为

A． 0．8千米 B． 1．33千米

C． 2．8千米 D．3千米

20．影响土地租金高低的主要因素是

①距离市中心的远近；②土地利用方式；③交通通达度；④企业的支付能力

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

解析本题至少有三种不同解答方法，其中精确图解法是一个不错的选择。解答本题可用直尺作图如上表右图，找出商业付租能力与住宅付租能力两条直线的交点，过该点作横坐标的垂线，则垂足到坐标原点的距离即为商业区外缘距离市中心的距离。而这个距离用直尺即可测量得出。

点评精确图解法与普通图解法不同的地方是：它作图务求精确，一般要求用尺规进行作图；而普通图解法，对图的精确度要求较低，只需简单示意，此类图通常徒手即可完成。运用这种方法通常可避免繁杂的数学运算过程，节省解题时间。当然，如果作图精确度要求很高且十分复杂、费时，精确作图法就不再是最合适的解题方法了，此时应另辟蹊径，寻求更高效、更合理解决方法。

五、分类讨论法

就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

例题 （南通市2009届高三调研测试）图1为“岩石圈的物质循环示意图”，图2为“五种外力作用相互联系示意图”，图3为“四种陆地地貌图”。读图完成1～2题。

1．在①②③④的成因中，与五种外力作用有直接关系的是

A．① B．② C．③ D．④

2．甲、乙、丙、丁四种地貌中，由①类岩石经a、b作用形成的是

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

解析本题主要考查地壳内部的物质循环，由图可以判断①②③④分别为三大岩石与岩浆。要正确解答出第1小题，就必须准确判断出四个数字代码中谁表示沉积岩。但题中没有任何条件可以让我们直接判断出哪一个是沉积岩。问题解答的突破口为：物质之间的单、双向转化关系，即岩浆与岩浆岩之间的相互转化、沉积岩与变质岩之间的相互转化。由于无法确定②、③具体表示的是哪两类物质之间的相互转化关系，所以我们只有通过分类讨论的方法来分析、解答该题。

假设②、③反映的是岩浆与岩浆岩之间的相互转化关系：

A、假设②是岩浆，则③是岩浆岩。由于图1表示的是岩石圈的物质循环，所以①②③④分别为三大岩石与岩浆，亦即不可能出现任意两个数字代码表示同一物质的情况；且依据三大类岩石与岩浆之间的相互转化关系可知：只有岩浆能够生成岩浆岩。但从图中可以看出，除②外，①也可以生成③。故此假设错误。

B、假设②是岩浆岩，则③是岩浆。因为①与③均可生成②，所以本假设亦不成立。

由上述可知，②、③只能反映沉积岩与变质岩之间的相互转化关系。因为岩浆只能生成岩浆岩，而岩浆岩可以转化为沉积岩或变质岩，所以①为岩浆岩，④为岩浆。依据岩浆的形成条件，沉积岩要形成岩浆，首先要经过高温融化；而各大类岩石在高温高压条件下通常会发生变质作用，因此沉积岩通常是先形成变质岩，尔后才能形成岩浆。至此可以判断②为沉积岩、③为变质岩。

点评当问题中的条件、结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免遗漏，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养。

其实数学方法与数学思想不仅可以解答一些地理选择题，它还可以解决一切包含有关数据处理的地理问题。当前地理科学的发展一大趋势就是计量化。因此，在高中地理教学过程中渗透一些数学方法与思想，不仅能够提高学生解题能力，而且引导学生有意识地运用数学手段去分析、解决一些地理实际问题，为地理科学的进一步发展培养出大量的优秀后备人才。