鲍苗丹　徐明夏

摘 要 中国传统数学名题是在时间长河里洗练出来的具有经典意义的数学问题,它具有自己的数学思想和背景文化。文章主要研究了中国传统数学名题—鸡兔同笼其中渗透的数学思想,可以在小学数学中广泛适用,让学生在正确地理解数学知识的情况下,使其自身在情感态度、思维能力与价值观等方面得以提升,增强数学文化素养。

关键词 中国 传统 鸡兔同笼 数学思想

中图分类号:O119文献标识码:A

数学文化是人类智慧和创造的结晶,它不是“空中楼阁”,不是柏拉图的“理念世界”,不是康德的“先验知识”,它是一种连续的、积累的、不断进化或进步的动态体系。数学文化的历史,以其独特的思想体系,保留并记录了人类在特定社会形式和特定历史阶段文化发展的状态。M-克莱茵曾说:“许多历史学家通过数学这面镜子,了解了古代其他主要文化的特征。”中国传统数学名题就为数学文化和数学教育搭建了一座桥梁。由于数学思想方法往往隐含在知识里,体现在知识发生、应用过程中,而历史上的问题是真实的,它或者直接提供了相应数学内容的现实背景,或者揭示了实质性的数学思想方法,这对于学生理解数学内容和方法都是很重要的。

在我国几千年的数学历史中,涌现出了各式各样的数学名题,每一个名题中都渗透着自己的历史文化背景和一套数学思想。所谓数学思想是对数学知识的本质认识,是对数学规律的理性认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,他在认识活动中被反复运用带有普遍的指导意义,是建立数学和运用数学解决问题的指导思想。就小学知识体系而言,数学思想是指那些最常见、最基本、比较浅显的规律性认识或结果,比如函数思想、符号化思想、转化思想、假设思想、模型思想、方程思想、数形结合思想、化归思想、递推思想等等。

在人教版六年级小学数学教材中有这样一道流传了大约一千五百年的数学名题——鸡兔同笼:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各有几何?题意是笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有35个头,从下面数有94只脚。鸡和兔各有几只?

对于这个既是生活上又是数学上的问题,小学生会带着陌生又熟悉的心理试图来解决这个问题。自然地,不同年龄的学生拥有的解决问题的能力不同且不同学生的思维方式各异,所以他们所用的解决问题的方法也不同。

对于低年级的小学生来说,他们的抽象思维能力还不够,处在具体表象思维阶段,主要是凭借事物具体的表象来进行思维活动。因此在低年级学生中他们常常会用两种方法来解决鸡兔同笼问题:

1 直观图象法。

(1)先画头和身:

(2)再按鸡生脚:

(3)补足脚差数:

(4)鸡兔见分晓:

2列表枚举法。通过列表地递推从而得出答案。

由此表格可以得出答案是鸡有23只,兔有12只。

其实此法就是一种简单的递推法。先考虑最基本简单的情况(有鸡无兔)得出脚的只数,然后再通过一步步地递推得出最终的答案。当然,这样的题目对低年级的学生来说的确具备了相当大的难度,然而这个繁琐的思考过程,也是数学思想方法在他们脑海中渐渐形成和应用的过程。

鸡兔同笼的问题在人教版的教科书中被安排在高年级进行教授。高年级学生思维基本达到了从直接推理到间接推理的认知水平。在解题方法上,也进入到了用字母代替数和知识横向联系的地步了。因此,在现在的小学数学课堂上,老师通常向学生传授假设法来解决鸡兔同笼问题。

假设法是一种常用的解题方法,用假设思想解决问题,首先要根据题意正确地判断应该怎么假设;其次,要根据所作的假设,注意到数量关系发生了什么变化,怎样从所给的条件与变化了的数量关系的比较中做出适当的调整,从而找到正确的答案。

(1)假设如果笼子里全是鸡,那么就只有70只脚,这样就多出(94-70=24)只。

(2)一只兔比一只鸡多2只脚,也就是有24?=12只兔。

(3)所以笼子里有23只鸡,12只兔。

方程的思想是指在解决问题时先设定一些未知数,根据题中各量间的制约关系列出方程,通过对方程的研究或解方程从而使问题获得解决。利用方程的思想解决这类问题与低年级的学生的解法相比就显得轻而易举了。

解:设有兔x只,那么就有(35—x)只鸡,鸡兔共有94只脚,就是

4x+2(35—x) = 94

x=12

不同年龄段的学生一般会用不同的思维方式来解题,但都蕴含着相应的数学思想方法指导他们解决鸡兔同笼这样的历史名题。在这其中作为教师应该鼓励学生各异的思维方式,而不能把学生限定在一个固定的框架里。

其实就“鸡兔同笼”这道历史名题来说自己本身就蕴含着一定的数学思想方法。它的基本模式就是:“已知鸡兔总头数和总脚数,求鸡、兔各有几只?”事实上,生活当中有许多问题都可归结为鸡兔同笼的问题,我们都可以运用“鸡兔同笼”的问题模型来解决这类问题。这其中就蕴含了模型的思想。”“鸡兔同笼”问题就是一个数学模型。解决这类问题关键是在于找到鸡兔及其头数、脚数的对应关系。例如:在游乐园中经常碰到的乘船问题——全班一共有38人,共租了8条船,每条都坐满了。大、小船各租了几条?此题中,大船就相当于兔,小船就相当于鸡,8条船就相当于鸡兔的头数,38就是鸡兔的脚数。自然的就可以用这一数学模型来解决这一问题。再有篮球赛中的得分问题——篮球比赛中,三分线外投中一球记3分,三分线内投中一球记2分。在一场比赛中张鹏投了15个球,投进了9个,共得了21分。张鹏在这场比赛中投进了几个3分球?(张鹏没有罚球)。此题中也同样可以找出相应的鸡兔样板、总头数和总脚数,分析出鸡兔同笼的模式。俗话说:“授人以鱼,不如授人以渔。”这句话道出了培养数学模型思想的重要性。中国传统数学历史名题正是为数学模型的发展提供了这样一个平台,数学名题中渗透的数学思想、数学名题本身的模型作用,都可以让学生在潜移默化中逐步感受、领悟和掌握数学思想。

我们不仅仅是为了掌握数学知识去挖掘数学名题、学习数学名题,而是数学名题作为中国传统数学文化的一部分,我们需要给予更多的关注。更何况中国传统数学名题向学生提供了丰富、典型、正确的发现背景的材料。只一道鸡兔同笼中就渗透了方程、递推、假设、和模型的数学思想方法,为我们提高数学教育和数学素养提供了捷径。所以对历史性数学名题的教授仍然存在着极其重要的理论和现实意义。教师也必须对此类题目进行充分的解读从而挖掘出其中所隐含着的各种数学思想与方法,只有教师对所教授的知识有所充分领悟,才能让学生建立相关的数学思想方法。

参考文献

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