刘新昌

(新疆农一师塔里木高级中学843300)

在以前的教学中，有同事和学生就“什么是曲线的切线？”的观点不一致。有人认为：“从初中圆的知识切线可知，当直线与曲线有一个公共点时，直线叫做曲线过该点的切线。”也有人说：“直线是否是曲线过该点的切线与直线和曲线的交点个数无关。”还有许多人无从判断，说不清道不明。下面就这一点，谈一谈我个人的观点。

首先，切线这一概念是在初中三年级几何的圆中第一次学习，当一条直线与圆只有一个公共点时，我们就说这条直线是圆的一条切线。同时我们在高中计算与圆的切线有关问题时，方法之一就是用圆和直线的方程建立方程组，再得到一个一元二次方程，令其判别式等于零。实质就是让直线与圆只有一个公共点。

那么能不能将圆的切线推广为一般曲线的切线呢？也就是说能不能认为一般曲线的切线与曲线也只有一个公共点呢？通过我们在实际学习当中求某些圆锥的曲线时，会发现求出的直线与圆锥曲线却有2个甚至多个公共点，或者有许多直线与曲线只有一个公共点，但这些直线却不是曲线的切线。这用我们通常理解的“切线与曲线只有一个公共点”无法解释。

如图：

AB直线与曲线只有一个交点D，但不是曲线的切线。直线PQ虽然与曲线有2个交点，但确是曲线在P处的切线。可见曲线的切线不一定与曲线只有一个交点。

那么要搞清楚这一问题，我们首先要从圆锥曲线的切线的定义入手。

圆锥曲线的切线定义是:

在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。

这是切线在高等数学中的唯一定义，在高中数学的必修3中就运用了这一定义，精确的定义了曲线在某点或过某点的切线。通过定义我们知道如果是圆的切线，的确切线与圆只有一个交点。但是求圆锥曲线的切线则不能错误的用“只有一个交点”来确定。

通过以上的解释我们应该清楚，在以后计算有关圆锥曲线的切线时，必须依照定义去做，且不可不分前提而简单的用“只有一个交点”来判断圆锥曲线的切线。接下来我们通过几个例题来说明。下面再举出几个例子供大家参考：

例如，利用导数我们可以轻易的计算出 在(0,0)点的切线就是直线y=0。

而直线 、 虽然与曲线 只有一个公共点，但是x=0、y=-x等都不是其切线。

再如y=sinx，在(0,0)点的切线是y=x。

而直线 、 虽然与曲线y=sinx只有一个公共点，但是如x=0、y=-x等都不是切线。

具体的切线方程可以求导得出，在 处的切线方程是：

收稿日期：2009-03-10