周秀峰

一、构造数学模型，培养学生的思维能力

“问题是数学的心脏.”我们在研究或解决一类问题时，如果通过类比、联想，发现它与另一类数学问题有密切的联系，便可构造出一个新的数学模型，使问题得到解决.构造数学模型解题是一种创造性思维，没有固定的模式，它是深刻分析、正确思考和丰富联想的产物.构造一个恰当的数学模型，能给人以启示，可使学生迅速准确、灵活巧妙地解决问题.

例1解方程x３+2 x２+3x+ -1=0.

分析：三次方程解起来有一定难度，可换个角度把 看做未知数，x看做已知数，构建二次方程模型：

x•（ ）２+（2x２+1） +x３-1=0.①

解方程①，得 = ．

则有 =1-x或 =－ ，即x２+（ +1）x+1=0，所以可得方程的三个根为：x１=1- ，x２=－ ， x３= .

例2设 x，y∈R，求证（x４+y４）（x２+y２）≥（x３+y３）２.

分析：我们可通过构造向量模型，解决不等式的证明.不等式左边可看做两个向量a=（x２+y２），b=（x，y）模平方的积，不等式右边可看做两个向量a=（x２+y２），b=（x，y）内积的平方，故有（x３+y３）２=（a，b）２=|a|２|b|２cos２?兹≤|a|２|b|２≤（x４+y４）（x２+y２）.

二、运用已有信息储备构造辅助问题，培养学生的数学建模能力

数学教育的核心问题是数学思维问题，学生学习数学是数学思维过程和结果的综合，学数学不仅要学知识，更要学思考，学思想.当学生已有一定的数学知识后，教师应抓住典型例题，创造情境，培养学生的思维能力和建构能力.教师应引导学生利用已有的知识和技能构造辅助问题.在不等式的证明中，可通过构造函数，利用函数的增减性证明不等式.

例3已知α３-3α２＋5α=1，β３-3β２+5β=5， 求α+β.

解：注意到两个已知等式的左边具有相同的结构，故可引入辅助函数.

ｆ（x）=x３-3x２+5x进而化成f（x）=（x-1）３+2（x-1）+3，再引入函数g（u）=u２+2u，则f（x）、g（x）之间有关系，g（x-1）=f（x）-3，易……