葛余常

例1（2007年·海南）如图1，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，则（a+b）2的值是（）.

A． 13B． 19C． 25 D． 169

分析：由勾股定理得a2+b2=13，由面积关系得（a-b）2=1，从而建立关于a、b的关系式.

解：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13. ①

由题意，得（a-b）2=1.②

由②，得a2+b2-2ab=1. ③

把①代入③，得13-2ab=1. 2ab=12.

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25.选C.

评注：本题是根据课本中出现的有关图形改编成的考题，体现了学好课本知识的重要性.关系式①、②是解这类题的关键，要好好把握.由它们也可直接求出a、b，读者不妨试一试.

例2（2007年·“南方杯”）若Rt△ABC的周长为l，斜边长为c（l>2c），则该三角形的面积等于（用关于l、c的简单式子表示）.

分析：设两直角边分别为a、b，若要直接求出a与b的值，要用二次方程求解，较繁.但若由a+b和a2+b2联想到整体思想（将ab视为一个整体），问题便可顺利获解.

解：设两直角边分别为a、b ，则a+b=l-c.

由勾股定理得c2=a2+b2=（a+b）2-2ab，故

ab===.

∴S△ABC=ab=·=.故该三角形的面积为.

评注：用整体思想来解数学题，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，往往还可以解决一些按常规方法解决不了的问题.要熟悉ab、a+b、a2+b2、a-b之间的变换关系.

例3（2007年·“希望杯”）如图2，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7 m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动了m．

分析：本题实际上就是要求木板的长度.设木板顶端距离墙角O处为x m， 木板长为y m，利用木板下滑过程中长度保持不变，可通过勾股定理建立关于x、y的方程组.

解：设（开始时）木板顶端距离墙角O处x m， 木板长为y m.由题意得：0.72+x2=y2，22+（x-0.9）2=y2.

故0.72+x2=22+（x-0.9）2，解得x=2.4.

把x=2.4代入0.72+x2=y2，解得y=2.5.

所以小猫在木板上爬动了2.5 m.

评注：勾股定理在现实生活中有着较为广泛的应用，它是线段计算的重要工具.梯子问题的解题关键，是抓住梯子长度不变这一点，列出有关的方程.

例4（2007年·“南方杯”）如图3，点M在△ABC的BC边上，分别作MD⊥AB，ME⊥AC，垂足D、E分别在AB、AC两边上.△ABM与△ACM的面积相等，且△BDM与△CEM的面积相等.若BD=2，CE=1，试求点A到BC边的距离.

分析：欲求点A到BC边的距离，关键是求出△ABC的面积和BC的长.

解：由S△ABM=S△ACM，而两三角形高相等，知BM=MC.M为BC中点.

设DM=x，ME=y.由BM=MC及勾股定理得：22+x2=BM2=MC2=12+y2.

所以y2-x2=3. ①

由S△BDM=S△CEM，得·2·x=·y·1，所以y=2x. ②

把②代入①得：4x2-x2=3，x2=1.故x=1，y=2.

因S△ABM=S△ACM，S△BDM=S△CEM，故S△ADM=S△AEM.设AD=a，AE=b，与上面类似，x2+a2=AM2=y2+b2，即1+a2=22+b2，故a2-b2=3. ③

由S△ADM=S△AEM，则·1·a=·2·b，所以a=2b.④

把④代入③，得b=1，a=2.从而S△ABC=S△ABM+S△ACM=·1·4+·2·2=4.

又BC=2BM=2=2，故由三角形面积公式知点A到BC边的距离==.

评注：此类问题求解时，常要抓住面积相等探究线段之间的关系，然后再结合勾股定理建立方程组.本题前半部分和后半部分的思路很相似，即利用未知的但相等的边（BM与MC，以及AM）作为桥梁，建立方程.这种思路值得重视.

例5（2007年·临安）如图4所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，一直重复同一过程.第1个正方形的边长为1.第1个正方形与第1个等腰直角三角形的面积和为S1，第2个正方形与第2个等腰直角三角形的面积和为S2，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为Sn.

（1） 计算S1、S2、S3、S4 .

（2） 总结出Sn与Sn-1的关系，并猜想出S1+S2+S3+…+Sn与n的关系.

分析：可根据图形直接进行计算，并进行归纳猜想.

解：（1）如图5，设第1个正方形的边长为a、第2个正方形的边长为b、第3个正方形的边长为c、第4个正方形的边长为d，由勾股定理得b2+b2=a2=1，则b2=，S1=a2+b2=1+=.同理可得，S2=b2+c2=+=，S3=，S4=.

（2）Sn=Sn-1.

计算得S1+S2==，S1+S2+S3==，S1+S2+S3+S4==.

猜想：S1+S2+S3+…+Sn=.

评注：第（2）问有些难度.猜想时，可分别找分子、分母与n的联系.分子显然都是5的倍数，可提出5后再找规律.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文