李光红

星期二下午的数学兴趣小组活动中，我在黑板上画了4个图，每个图中都有8个数字，如图1.

同学们都很纳闷，不知道这几个表有什么用.

这时，我说：“我们先来做一个猜数字的游戏.”

同学们一听要做游戏，就来劲儿了，教室里立刻响起一片掌声.

我接着说：“同学们，你们先想好1~15中的一个整数，然后告诉我都有哪几个图上显示了这个数，我就能说出你想的数字是几.”

王浩同学首先发言：“我想好的数字在（1）（2）（3）中都有，在（4）中没有.”

我很快报出：“你想的数字是14.”王浩吃惊地答道：“是的.”

接着，陈亮同学发言：“我想好的数字在（2）（3）中有，在（1）（4）中没有.”

我又准确地说出：“你想的数字是6.”陈亮点头表示正确.

又有几位同学发言，我都准确无误地说出了他们想的数字.

大家都感到惊奇，只有班上的“数学王子”刘涛一直没有说话，这时他举起了手，说：“我看这个游戏并没有什么新奇的地方，只要仔细按要求找一下就可以确定所想的数了.而且，因为每个图只有‘有和‘无两种状态，所以共有2 × 2 × 2 × 2 = 16种‘有无情况，去掉‘全无的1种情况，共有15种‘有无情况，如14对应于‘有有有无，6对应于‘无有有无等.”教室里又响起了掌声.

这时，杨明说：“可是我看老师并没有找，而且找起来也比较慢呀！”

“老师，你不会把这15种对应关系全记住了吧？”王浩显得有点得意.

我见大家讨论得差不多了，就笑着说：“同学们的积极性都很高，开动了脑筋，发现了其中隐含的规律.不过我不是用‘记的方法，而是用‘算的方法.同学们，你们知道是怎么算的吗？”

教室里静了下来，有的同学还用笔算起来.

过了一会儿，陈亮跳了起来，高兴地说：“我知道了！只要把所有包含所想数字的图中的第一个数字相加就可以得到这个数了！”

大家都赶紧尝试，很快也报以热烈的掌声.

紧接着，我开始讲课了.

其实，我们今天做的游戏与二进制有关.我们通常用的数字是十进制的，也就是说逢十进一.任何一个十进制的整数，总可以写成a0 × 10n +a1 × 10n-1 + … + an - 1 × 101 + an的形式.如2008 = 2 × 103 +0 × 102 +0 ×101 +8.我们称10是十进制记数法的基数.

计算机通常用的是二进制数，这是因为计算机的计算和记忆元件只有两种不同的状态，如“开”、“关”.在二进制中，是逢二进一的，只有0、1两个数码.任何一个二进制的整数，都可以表示成a0 × 2n + a1 × 2n - 1 + … +an - 1 × 21 + an的形式.如1 010 = 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 +0.我们称2是二进制记数法的基数.

为了与其他进位制相区别，常常将基数2写在右下角，如1 0102，十进制的基数10一般不写.二进制数化为十进制数比较容易，如把1 0102化为十进制数，只要把1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 0算一下就可以了，1 0102 = 8 + 2 = 10.那么，如何把十进制数转化为二进制数呢？

可以逆向思考，先把十进制数化为a0 × 2n + a1 × 2n - 1 + … + an - 1 × 21 +an的形式，再写出这个二进制数.例如，我们可以来看一道中考题.

题目：计算机采用的是二进制数，它共有两个数码0、1.将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n数的和，依次写出1或0即可，如19 = 16 + 2 + 1 = 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 10 0112，它是二进制下的5位数，则十进制数2 004是二进制下的（）.

A． 10位数 B． 11位数

C． 12位数 D． 13位数

解析： 这道题首先举例说明了十进制数转化为二进制数的方法，然后让我们加以应用.考虑不大于2 004且最接近于2 004的2的乘方是210，所以它是二进制下的11位数，故应选B.

下面我们把1~15之间的整数都转化为二进制数，如表1（不足4位的，在前面补0）.

我们再来看前面的图1中的数字.凡是转化成二进制数以后，首位为1的，都记入图1（1）中；第二位为1的，都记入图1（2）中；第三位为1的，都记入图1（3）中；末位为1的，都记入图1（4）中.当王浩同学说在（1）（2）（3）中都有，在（4）中没有时，就对应着二进制数1 1102，化为十进制，就是1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14，也相当于陈亮所说的把显示所想数字的图中的第一个数字相加.Y

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”