张泊宁

题目：设想甲有100元钱，乙也有100元钱.若甲将手中的 先给乙，甲就有50元，则乙就有150元.随后乙再将手中钱的 给甲，乙就有75元，则甲就有125元……依此类推，请问：当交换到什么程度时，双方手中的余额趋于稳定？如果每次转移的钱数为总钱数的 、 、 呢？

思路探究：甲乙双方开始交换前，甲手里有100元钱，乙手里有100元钱.

第一次交换后，甲有50元，乙有150元；

第二次交换后，甲有125元，乙有75元；

第三次交换后，甲有62.5元，乙有137.5元；

第四次交换后，甲有131.25元，乙有68.75元；

第五次交换后，甲有65.625元，乙有134.375元；

第六次交换后，甲有132.812 5元，乙有67.187 5元；

……

观察这些数据，他们两人的钱数比例似乎接近于0.5，即1 ∶ 2.前六次交换后的比例分别是0.333 3、0.600 0、0.454 5、0.523 8、0.488 4、0.505 9.而甲乙两人的钱数总和始终为200.由此试着假设最终两人的钱数分别接近总钱数的 和 ，两人手中的钱数的比例近似为1 ∶ 2.此时，当钱多的一方将手中的钱的 给另一方后，另一方手中的钱所占总钱数的比例总是约为 ?摇+?摇 ?摇=?摇 ，此时交换趋于稳定.

接下来考虑 的情形.甲乙双方开始交换前，甲手里有100元钱，乙手里有100元钱.

第一次交换（甲将手中 的钱交给乙）后，甲有66.666 7元，乙有133.333 3元；

第二次交换后，甲有111.111 1元，乙有88.888 9元；

第三次交换后，甲有74.074 1元，乙有125.925 9元；

第四次交换后，甲有116.049 4元，乙有83.950 6元；

第五次交换后，甲有77.366 3元，乙有122.633 7元；

第六次交换后，甲有118.244 2元，乙有81.755 8元；

……

观察这些数据，双方钱数的比例似乎总接近于0.666 7，即2 ∶ 3，前六次转移后分别是0.500 0、0.800 0、0.588 2、0.723 4、0.630 9、0.691 4.由此试着假设最终两人手中的钱分别为总钱数的 和 ，满足2 ∶ 3的条件.此时，当钱多的一方将手中的钱的 给另一方后，另一方手中的钱所占总钱数的比例总是约为 ?摇+?摇 ?摇=?摇 ，此时这种交换趋于稳定.

由此可推出 时的结果.设甲开始的钱数为A、乙开始的钱数为B，那么甲乙总共的钱数为（A?摇+?摇B）.根据前面的推导过程分析，可知当每次转移的钱数为总钱数的 时，双方手中的钱数分别为 、 ，此时甲乙双方的钱数趋于稳定，双方的比例为（n?摇-?摇1） ∶ n.

这个题目的探索过程说明，在计算过程中要注意观察和分析，及时从公式的角度进行推算.Y

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”