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函数奇偶性在解题中的应用

2008-09-08周学勤

中学生数理化·教与学 2008年5期
关键词:实根偶函数解方程

周学勤

函数奇偶性是函数的基本性质之一,在中学数学教学中起到举足轻重的作用.若能熟练掌握,灵活运用,对于一些题目具有独特的功效.下面就笔者的一些实践体会,举例加以说明.

一、求函数的解析式

例1已知x∈(-1,1),且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若f(x)+g(x)=2lg(1+x),求f(x)与g(x)的解析式.

解: 由f(x)+g(x)=2lg(1+x),得f(x)=2lg(1+x)-g(x).(1)

∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x).

故f(-x)=2lg(1-x)-g(-x),即f(x)=2lg(1-x)+g(x).(2)

由(1)+(2)得2f(x)=2lg(1+x)+2lg(1-x), ∴ f(x)=lg(1-x2).

二、求值

例2已知关于x的方程x2-2arcsin(cosx)+a2=0有唯一解,求a的所有值.

解: 考察函数f(x)=x2-2arcsin(cosx)+a2,则其定义域为R,且为偶函数.由题设知f(x)=0有唯一解,而由于偶函数的图像关于y轴对称,故此解必为0.

三、求函数的周期

例3设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)= -g(x+c)(c>0),则f(x)是以____为周期的函数.

解: ∵f(x)=f(-x)= -g(-x+c)=g(x-c)=-f(x-2c), ∴ f(x+4c)=-f(x+4c-2c)=-f(x+2c)=f(x+2c-2c)=f(x), ∴ f(x)是以4c为周期的周期函数.

四、求函数的值域

例4已知x,y∈R,且f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(1)=2,求f(x)在[-5,5]上的值域.

解: 令y=x=0,则有f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0.

∴f(x)为奇函数,而f(5)=f(4+1)=f(4)+f(1)=f(3+1)+f(1)=……=5f(1)=10,f(-5)=-f(5)=-10,故f(x)在[-5,5]上的值域为[-10,10].

五、求函数的单调区间

1);当1≥x2>x1>0时,g(x2)<g(x1).由g(x)是偶函数知,g(x)在[-∞,-1]上递减,在[-1,0]上递增.

六、比较函数值的大小

例6已知奇函数f(x)的定义域为R,它在[0,1]上是增函数,且f(x+1)是偶函数,试比较f(3),f(4),f(5)的大小.

解: ∵f(x)在[0,1]上递增, ∴ f(1)>f(0).又∵ f(x)为奇函数, ∴ f(x)在[-1,0]上递增,即f(0)>f(-1). ∴ f(1)>f(0)>f(-1).

而f(x+1)是偶函数,即f(x+1)=f(-x+1).则f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1).

f(4)=f(3+1)=f(-3+1)=f(-2)=-f(1+1)=-f(-1+1)=-f(0).

f(5)=f(4+1)=f(-4+1)=f(-3)=-f(3)=-f(-1).

∴f(5)>f(4)>f(3).

七、证明命题

例7已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)=0有n个实根,证明n必为奇数.

证明:∵f(x)是R上的奇函数, ∴ f(-x)=-f(x),则f(0)=-f(0),即f(0)=0,即0是f(x)的一个实根.若f(x)=0除了x=0这个实根外,还有实根x1,x2,x3,…,xk(k∈N).而f(x)是奇函数,可知-x1,-x2,-x3,…,-xk也必为f(x)=0的实根,即f(x)=0的非零实根必成对出现,故f(x)=0的实根个数n必为奇数.

八、证明条件等式

例8已知α≠kπ+,β≠kπ(k∈Z),且2(tgα+ctgβ)3+ctg3β+2tgα+2ctgβ=0.求证:tgα·tgβ=-1.

证明:构造函数f(x)=x3+x(x∈R),则有f(2tgα+ctgβ)+f(ctgβ)=0.

而f(x)显然为奇函数,且是严格递增的,则f(2tgα+ctgβ)=-f(ctgβ)=f(-ctgβ),由f(x)是严格递增函数知2tgα+ctgβ=-ctgβ.整理即有tgα·ctgβ=-1.

九、证明不等式

例9求证:当x<0时,f(x)=>0.

证明:∵f(x)+f(-x)=0,则f(x)为奇函数.

当x>0时,<0,即f(x)<0.

十、解方程

例10解方程ln(-x)+ln(-2x)+3x=0.

解:略.

函数奇偶性还可用来解决许多问题,比如求其他函数的奇偶性、作图等.

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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