刘辉忠

数学趣题不仅能有效地激发学生学习数学的兴趣，而且能有效地培养学生的分析问题和解决问题的能力。不过数学趣题的条件往往扑朔迷离，初看起来无从着手，但只要与适当的数学知识挂钩，深入探讨，即可得到可喜的收获，令人兴趣大增。现介绍用探索法解趣题一例，供大家参考。

题目：有一次我下乡家访一位学生，我知道他的爸爸是一位养猪能手。我问他你们家除了养猪，还养些什么?这位学生回答说还养奶牛和鸡。当我问他各养多少时，他说：“我家养的猪、奶牛和鸡，腿的总数乘上牛角的数目，再乘上鸡翅膀的数目正好得720。如果我只告诉您牛的数目，您推断不出猪和鸡的数目；如果我只告诉您鸡的数目，您也推断不出猪和牛的数目，但如果我告诉您猪的数目，您完全可以推断出牛和鸡的数目。其实，谈到这里，即使我不告诉您猪的数目，您也可以推断出猪、牛和鸡的数目啦。”请问这位养猪能手养了多少猪、牛和鸡?

本题的条件象谜语一样，令人难以捉摸。下面用探索法一步步把这个迷解开：

先根据“我家养的猪、奶牛和鸡，腿的总数乘上牛角的数目，再乘上鸡翅膀的数目正好得720。”这一条件，设猪x头，奶牛y头，鸡z只，则有

(4x+4y+2z)·2y·2z=720，

就是(2x+2y+z)·yz=90。

①

由①式可看出，如果z为偶数，则左边能被4整除，而右边不能被4整除，所以z只能为奇数；所以(2x+2y+z)为奇数，yz只能为偶数，y必为偶数。因为z、y、z为自然数，所以2x+2y+z＞y，所以(2x+2y+z)y＞y²，所以y为小于10的偶数。

90=1×2×3×3×5。

有y=2或y=6。

当y=2时，z可能为1，或3，或5，把y=2代入①式得(2x+2×2+z)·2z=90

当y=2，z=1时，解得x=20；

当y=2，z=3时，解得x=4；

当y=2，z≥5时，无解。

当y=6时，z可能为1，或3，

把y=6代入(1)式得(2x+2×6+z)·6z=90。

当y=6，z=1时，解得z=1；

当y=6，z≥3时，无解。

通过上述探索，我们得到3组解，第一组是：猪20头，奶牛2头，鸡1只；第二组是：猪4头，奶牛2头，鸡3只；第三组是：猪1头，奶牛6头，鸡1只。现再根据“如果我只告诉您牛的数目，您推断不出猪和鸡的数目”这个条件进行判断，从这三组中可看出，他家养奶牛的数目应为2头，因为即使知道奶牛的数目为2头，猪和鸡的数目仍无法确定，又根据“如果我只告诉您鸡的数目，您也推断不出猪和牛的数目”这个条件进行判断，可知他家养鸡1只，因为即使知道鸡的数目为1只，也推断不出猪和牛的数目。故初步得出他家养奶牛2头，鸡1只，猪20头，即应选第一组，再根据“但如果我告诉您猪的数目，您完全可以推断出牛和鸡的数目”这个条件进行判断，可以看出三组数据中猪的头数是互不相同的，只要知道猪的头数完全可以唯一确定奶牛和鸡的数目了。至此，已经真相大白：这位养猪能手分别养猪20头、奶牛2头、鸡1只。

我们还可以从另一角度进行探索，得出①式后，我们可以推知yz为偶数，因为如果yz为奇数，则y和z同为奇数，这时(2x+2y+z)为奇数，则等号左边为奇数而右边为偶数是不可能的。又因为z、y、z为自然数，故(2x+2y+z)≥5，又因90=1×2×3×3×5，所以yz最多只有1×2、1×2×3、1×2×5、1×2×3X3四种可能，由①式可看出，如果z为偶数，则左边能被4整除，而右边不能被4整除，所以z只能为奇数；所以(2x+2y+z)为奇数，yz只能为偶数，y必为偶数。便可得y=2，z=1或y=2，x=3或y=6，z=

1同样得到三组解：

猪=1头，奶牛=6头，鸡=1只；

猪=4头，奶牛=2头，鸡=3只；

猪=20头，奶牛=2头，鸡=1只。

如果是第一组，那么知道牛的数目就可以知道猪和鸡的数目，这与“如果我只告诉您牛的数目，您推断不出猪和鸡的数目”相矛盾；如果是第二组，那么知道鸡的数目就可以知道猪和牛的数目；这又与“如果我只告诉您鸡的数目，您也推断不出猪和牛的数目”相矛盾；所以只能是猪20头，奶牛2头，鸡1只。