欧阳维诚

王之涣的“更上一层楼”已经成为不断探索者的座右铭．不管楼层有多高，登楼的阶梯总是有限的．当你登上了第一级，就可以把第一级作为攀登第二级的基础，如果不先登上第一级，就无法登上第二级．同理，如果登上了第ｎ级，你不因难而退，坚持继续攀登，你就可以用这第ｎ级作为基础，通过努力攀登到第ｎ＋１级．如此不断地从第ｎ级攀登到第ｎ＋１级，就一定可以逐步攀登到可以“穷千里目”的顶点．

现实中的楼梯是有限的，但是数学家们却想像出一种没有尽头的楼梯．１９５８年英国的《心理学杂志》发表朋斯的文章，论述了这种没有尽头的楼梯．这种楼梯无止境地上升和下降，但仍然保持在同一水平上．荷兰著名画家埃歇尔（１８９８～１９７１）根据朋斯等人的思想作出了一幅题为《上升和下降的楼梯》的画，如图１．即使是无穷无尽的楼梯，从第一级开始，不断地从第ｎ级登上第ｎ＋１级的道理也仍然适用．这个普通的道理，正是数学中的数学归纳法、递推法等的基础．

什么是数学归纳法呢？让我们先作一个粗浅的比喻：

过去行军打仗，指挥部每天都要发布一个“口令”作为内部联系的暗号．现在有一支成单行前进的很长很长的队伍，指挥员把“口令”传给走在队伍最前面的第一个人，并且规定了每一个听到了“口令”的人，都必须把“口令”准确无误地传达给紧跟在他后面的一个人．于是，“口令”将会从第一个人传给第二个，第二个人传给第三个，如此继续下去，不管这支队伍有……