饶绍斌 吕小俊 聂家升 郝冰

摘 要：一階半线性微分方程的欧拉差分在过去十几年里得到了迅速的发展，并得出了一些很好的结果。因此，各种欧拉差分方法已成为非常重要的研究课题。本文主要研究了带有时滞的模糊分数阶广义神经网络，利用分数阶微积分中的常数变分公式，建立了一类具有时滞的模糊分数阶广义神经网络的差分模型，并对该差分模型进行了定性分析。首先，利用压缩映射原理证明了差分模型有界解和平衡点的存在唯一性；其次，利用不等式放缩技巧和反证法，证明了差分模型解的指数稳定性。本文的研究成果，一方面可以丰富这类神经网络的理论成果；二方面可以拓展这类神经网络的应用范畴。

关键词：Caputo分数阶导数；广义神经网络；差分方程；平衡点；指数稳定

中图分类号：O175.13

文献标志码：A

分数阶微积分^［1-2］作为整数阶微积分的推广，它是将整数阶微积分推广到任意阶，分数阶导数是非局部的，它未来的状态不仅取决于当前状态，还取决于之前的状态。这使我们能够非常准确地描述问题，比传统的“整数阶”方法更好。如今，很多实际问题被描述为分数阶微分模型，如热传导^［3-4］、神经网络^［5］、生物系统^［6］、机器人^［7］等。分数阶神经网络为描述记忆和遗传特性提供了一种有效的方法，在神经网络的发展过程中发挥着重要的作用。近年来，分数阶神经网络的发展十分迅速，其动态特性一直是一个非常重要的研究课题，如周期性^［8］、同步^［5］、Hopf分岔^［6］、稳定性^［9］和混沌^［10］等。

离散时间的神经网络模型更加的贴近现实。该模型有以下两个优点：一是可以将适用技术应用到现实的数字控制器而不是模拟的控制器；二是同步控制器可以在数字处理器中直接实现。因此，研究离散非线性系统的控制方法，可以更有效地应用于真实的系统中。近年来，从数学到计算机科学，从工程学到生物学，各种形式的数值方法^［11］被提出，用来求解整数阶微分方程。众所周知，Euler在18世纪提出了最简单的数值方法（即Euler差分法）用差商代替微分方程的导数，得到差分方程。1883年，Bashforth和Adams首先提出了线性多级差分方法来讨论差分方程，该方法在Euler差分法的基础上进行了拓展，充分的利用了先前近似解的多级信息。1900年左右，Runge和Kutta引入了另一种重要的数值方法（即Runge-Kutta差分法）通过取多点斜率的加权平均值作为平均斜率的近似值。除此之外，在讨论整数阶微分方程时还可以应用其他的数值方法，如泰勒级数法^［12］、指数Euler差分方法^［13］、有限差分方法^［14］和有限元方法^［15］等。

模糊逻辑是由ZADEH^［16］在1965年提出的，它考虑了不确定性和模糊性，是模拟现实最常用和最重要的工具之一。YANG^［17］在1999年提出了模糊细胞神经网络及其在图像处理中的应用。除了乘积和求和运算之外，模糊神经网络对模板输入和输出具有模糊逻辑。近年来，模糊Cohen-Grossberg神经网络因其在图像处理和模式识别方面的优越性而受到越来越多的关注^［18］。

论文其余部分的组织如下，第二部分主要证明和介绍了一些重要的定义和引理；第三部分利用分数阶微积分中的常数变分公式，建立了具有时滞的Caputo分数模糊广义神经网络的时间离散差分模型和一些性质；第四部分利用压缩映射原理证明了离散时间差分模型有界解和平衡点的存在性、唯一性；第五部分利用不等式放缩技巧和反证法，证明了离散时间差分模型解的全局指数稳定性。

1 预备知识

2 时间离散及其性质

3 有界解和平衡点的存在性和唯一性

4 指数稳定性分析

5 结语

本文主要利用分数阶微积分中的常数变分公式，提出了分数阶模糊广义神经网络的Euler差分模型。此外， 还讨论了该差分模型的全局有界解和平衡点的存在性唯一性，以及解的全局指数稳定性。在本文的研究基础上，未来可以进行如下的拓展研究：

1）本文主要针对的是α∈（0，1］阶进行讨论，未来可以把它扩展到其它阶数进行研究；

2） 本文是在Caputo型分数阶微分方程下进行研究的，未来可以在其它类型的分数阶微分方程进行类似的研究。

参考文献：

[1]PODLUBNY I. Fractional Differential Equations［M］. San diego： Academic Press， 1999.

［2］ KILBAS A A， SRIVASTAVA H M， TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations［J］. North-Holland Mathematics Studies， 2006， 204： 90-98.

［3］ HU W， FU Z J. A meshless collocation method for solving the inverse Cauchy problem associated with the variable-order fractional heat conduction model under functionally graded materials［J］. Engineering Analysis with Boundary Elements， 2022， 140： 132-144.

［4］ 李文， 芮偉国. 一个2+1维时间分数阶热传导模型的精确解及其演化现象［J］. 昆明理工大学学报（自然科学版）， 2022， 47（6）： 189-196.

［5］ LIU P， LI Y L， SUN J W， et al. Event-triggered bipartite synchronization of coupled multi-order fractional neural networks［J］. Knowledge-Based Systems， 2022， ［2023-04-15］.https：//doi.org/10.1016/j.knosys.2022.109733.DOI： 10.1016/j.knosys.2022.109733.

［6］ 陆云翔， 肖敏， 陶斌斌， 等. 独立非交叉传播的分数阶生物竞争网络Hopf分岔［J］. 复杂系统与复杂性科学， 2022， 19（1）： 1-11.

［7］ 周爱美， 王飞. 分数阶微分Dλ型迭代学习算法在机器人控制中应用［J］. 机电工程技术， 2022， 51（5）： 233-237.

［8］ XU C J，ZHANG W， LIU Z X， et al.Delay-induced periodic oscillation for fractional-order neural networks with mixed delays［J］. Neurocomputing， 2022， 488： 681-693.

［9］ 刘健， 张志信， 蒋威. 含有离散时滞及分布时滞分数阶神经网络的渐近稳定性分析［J］. 应用数学和力学， 2020， 41（6）： 646-657.

［10］XU S C， WANG X Y， YE X L. A new fractional-order chaos system of hopfield neural network and its application in image encryption［J］， Chaos， Solitons&Fractals， 2022， ［2023-04-15］.https：//doi.org/10.1016/j.chaos.2022.111889.DOI： 10.1016/j.chaos.2022.111889.

［11］朱鹏程. Caputo型线性分数阶常微分方程的一种新的高阶数值方法［J］. 科学技术创新， 2022， 34： 35-39.

［12］王永， 张磊. 基于3步4阶隐式泰勒级数法的电磁暂态数值计算方法［J］. 电力系统保护与控制， 2018， 46（11）： 8-13.

［13］HU P， HUANG C M. Delay dependent asymptotic mean square stability analysis of the stochastic exponential Euler method［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics， 2021， ［2023-04-15］.https：//doi.org/10.1016/j.cam.2020.113068.DOI： 10.1016/j.cam.2020.113068.

［14］王希， 张爽， 胡劲松. 求解广义BBM-KdV方程的守恒型有限差分方法［J］. 哈尔滨理工大学学报， 2022， 27（4）： 147-153.

［15］BIEZEMANS R A， BRIS C L， LEGOLL F， et al.Non-intrusive implementation of multiscale finite element methods： an illustrative example［J］. Journal of Computational Physics， 2023， ［2023-04-15］.https：//doi.org/10.1016/j.jcp.2023.111914.DOI： 10.1016/j.jcp.2023.111914.

［16］ZADEH L A. Fuzzy sets［J］. Information and Control， 1965， 8： 338-353.

［17］YANG T. Fuzzy cellular neural networks and their applications to image processing［J］. Advances in Imaging and Electron Physics， 1999， 109： 265-446.

［18］ABDELAZIZ M， CHERIF F. Piecewise asymptotic almost periodic solutions for impulsive fuzzy Cohen Grossberg neural networks［J］. Chaos， Solitons & Fractals， 2020， ［2023-04-15］.https：//doi.org/10.1016/j.chaos.2019.109575.DOI： 10.1016/j.chaos.2019.109575.

［19］WANG J R， FECKAN M， ZHOU Y. Presentation of solutions of impulsive fractional Langevin equations and existence results［J］. The European Physical Journal Special Topics， 2013， 222： 1857-1874.

［20］YANG T， YANG L B. The global stability of fuzzy cellular neural networks［J］. IEEE Transactions on Circuits and Systems I， 1996， 43：880-883.

（責任编辑：于慧梅）

Qualitative Analysis of a Class of Fuzzy Fractional-Order

Generalized Neural Networks with Time Delays

RAO Shaobin1， LV Xiaojun^*1， NIE Jiasheng1， HAO Bing2

（1.College of Applied Technology，Soochow University， Suzhou 215325， China; 2.College of Oxbridge，Kunming University of Science and Technology， Kunming 650106， China）

Abstract： Euler difference of first order semilinear differential equations has been developed rapidly in the last decade and some good results have been obtained. Therefore， various Euler difference methods have become very important research topics. This paper mainly studies fuzzy fractional-order generalized neural networks with time delay. A kind of difference model of fractional-order generalized neural network with time delay is established using the constant variational formula in fractional-order calculus. Firstly， the existence and uniqueness of the bounded solution and the equilibrium point of the difference model are proved by the compression mapping principle. Secondly， the exponential stability of the solution of the difference equation is proved by means of inequality reduction technique and inverse proof. The research results of this paper can enrich the theoretical achievements of this kind of neural networks and expand their application scope.

Key words： Caputo fractional derivative; generalized neural networks; difference equation; equilibrium point; exponential stability