许旭红

［摘  要］ 在小学数学教学中融入数学史已经成为一线教师的共识。以数学史重构的方式进行数学教学，要认识数学史之于数学知识的生成脉络、厚实背景以及形成过程等意义。在数学教学中，教师要发掘相关资源，引导学生活动，反思学习过程，从而让数学史嵌入、融入、载入数学教学中。教师要善于捕捉数学知识中的历史基因，让其在重构数学知识历史中发挥较大作用。

［关键词］ 小学数学；数学教学；数学史；重构式

数学史与数学教育之间的关系早在19世纪就已经受到欧美数学家的关注。在小学数学教学中融入数学史已经成为一线教师的共识。但数学史如何走入数学课堂，数学史以怎样的姿态走入数学课堂，是一个值得研究的问题。本文提出，数学史融入数学教学的方式有3种：其一是链接式，即在数学教学中简单地加入一些数学史实，对数学史中的数学知识进行简单的介绍；其二是再现式，即将人类发现数学知识的历程呈现出来；其三是重构式，即引导学生重蹈人类探索数学知识的关键步子，将学生的火热思考融入其中。相比较而言，重构数学历史比链接数学历史、再现数学历史要深刻得多，也困难得多。在小学数学教学中，教师要深入研究重构数学史的策略、路径、方式和方法，以充分发挥数学知识中的数学史功能。

一、重构数学史的意义和价值

著名的数学家克莱因曾经这样说：“数学史是教学的指南。”在小学数学教学中重构数学史，将数学史融入数学课堂，就是要以数学史作为指导，让学生循着数学知识的历史发生顺序，循着人类生命实践活动的步子，去了解、把握数学知识。正如著名数学教育家波利亚所说：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。”

1. 厘清数学知识生成脉络

在小学数学教学中，重构数学知识中的数学史，有助于学生厘清数学知识的生成脉络。重构数学知识，不仅仅关注数学知识的内涵、关联，更要引导学生关注数学知识的历史性。为此，教师要以“历史发生原理”作为指导，引导学生经历数学知识的“再创造”，将数学知识生产、建构、创造、开发出来。在这个过程中，学生能把握数学知识的源流，在心里搭建数学新知、未知与已知、旧知的桥梁。重构数学史，可以彰显数学学科的育人功能，丰富、拓展数学学科的育人价值。比如教学“认识负数”，教师不仅仅要引导学生简单地认识“负数的意义”，即“正数和负数是具有相反意义的量”，更要揣摩、读懂学生认识负数的心理，抓住“0”的意义，体会“负数”与“0”的关联，从而让学生逐步超越自己的已有认知，即“0”不仅表示没有，而且表示标准、界限等。抓住了0和负数之间的关系，就能让负数的意义和学生认知结构中已有的数系结合起来，从而让学生在心理上逐步接纳负数。

2. 丰富数学知识厚重背景

数学知识是理性化、形式化、符号化的，但却蕴含着人类的实践智慧［１］。立足于数学史实施数学教学，不仅仅是让教学凸显知识的历史核心价值，更为重要的是要融入人类探索数学知识的关键步伐，让学生重蹈人类探索知识的关键步子，从而能实实在在地感受、体验数学知识，把握数学知识的真谛。知识的历史诞生过程往往给人以智慧的启迪，同样能给教学以智慧的启迪、文化的濡染。立足于数学史，彰显数学学科的价值核心，能让学生对数学学科本质、学科观、学习观以及人文情感等形成深刻的理解。比如“用字母表示数”这部分内容，是学生代数学习的雏形、萌芽。许多教师对于这部分内容的处理往往简单化，部分教师甚至认为“用字母表示数”就是“用字母代替数”，或者用“未知数代替已知数”，等等。而重构数学史，让学生经历用字母表示数的“文辞代数阶段”“缩小代数阶段”“符号代数阶段”等（参见《“用字母表示数”的历史演进及其数学价值》《小学教学（数学）》），就能让学生深刻认识“用字母表示数”的意义，即字母不仅可以表示未知数，而且可以表示已知数；不仅可以表示特定意义的数，而且可以表示变化的数；不仅可以在文辞、缩写上运用字母，而且可以在符号关系水平上运用字母，等等。

3. 敞亮数学知识形成过程

教材中的数学知识是一种“压缩形态”的知识。在小学数学教学中，教师要引导学生通过重构数学史，对数学知识进行“解压缩”，恢复数学知识诞生时鲜活的过程形态，进而敞亮数学知识的形成过程。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样说，“孩子应该重复人类的学习过程，但不是简单地、完全地再现历史，展现知识的实际发生过程，这种‘再创造’不同于知识的原始创造，而是进行一种假定人类当初知道我们现在所知道的东西，进而引导学生进行再创造的学习过程”（《参见《作为教育任务的数学》）。比如教学“认识厘米”，教师就不能简单地说教，让学生机械识记“1厘米有多长”，机械、枯燥地进行厘米测量训练，而应当重构数学史，从学生的认知现实出发。笔者在教学中引导学生经历了这样的一些过程：首先，用不同方式测量物体长度，让学生体会到用不同的度量单位去進行测量的混乱，进而产生建立统一度量单位的必要性；其次，引导学生建立“1厘米”的表象，引导学生用“1厘米”去测量，进而感受到用一个个测量单位去测量对象的琐碎、复杂等，产生将诸多个单位长度连缀在一起进行有序测量的想法，由此构建“厘米尺”的雏形；最后，引导学生估测物体的长度，并用厘米尺进行精准测量，并将估测结果与厘米尺测量结果相比较。这个过程中的许多步骤，都对应着数学史中的相关内容，如“布指知寸、布手知尺”“米原器”等。在数学教学中，敞亮数学知识的形成过程，并不是机械地重复人类的学习过程，而是教师指导下高效的“再创造”。这样的引导有助于学生不再机械、盲目地走历史老路。

重构式历史教学要关注数学知识的发生、发展过程。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔倡导的一个观点就是，“不完全遵循发明者的历史足迹，而应当是经过改良、同时更好地引导的历史过程”，是一种“快速地经历人类探索知识的关键历程”的过程。在历史重构式教学中，教师不必过度关注知识的细枝末节，而应当着眼于突出于数学知识发生、发展过程中的关键步骤、步子等。

二、重构数学史的路径和策略

在小学数学教学中重构数学史，要以历史发生原理为主要依据，要以理性重构作为关键。重构数学史包括3个方面的内容：其一是数学知识的产生和形成过程；其二是数学思想方法的感悟；其三是数学精神的渗透、融入、启迪等。重构数学史，既要让学生体验数学知识的历史性，又要让学生体会数学知识的科学性，还要渗透数学的教育性。换言之，在小学数学教学中重构数学史，不仅仅是“为了数学而历史”，更是“为了教育而历史”的过程。

1. 发掘相关资源，让数学史嵌入数学教学

重构数学史，需要教师发掘相关资源，从中吸取相关的因子，从而让数学史嵌入数学知识发生、发展过程之中。这些素材包括知识性素材、方法性素材以及情感性素材，等等。比如教学“圆的认识”这部分内容，教师可以融入的素材极其丰富。从知识性资源素材上来看，主要有古代的关于圆的知识的相关表述，如“圆，一中同长也”“不以规矩不能成方圆”等；从方法性资源素材上来看，主要有“圆出于方，方出于矩”等；从情感性资源、素材上来看，主要有“自然界中的圆”“生活中的圆”“有寓意的圆”等。从数学史中发掘出相关的资源、素材之后，教师要有意识地对这些资源、素材进行组织，从而将素材、资源等寓于其中。比如笔者用多媒体展示由正三角形演变成正方形进而逐步演变成正五边形、六边形等之时，让学生感受、体验“圆出于方，方出于矩”等的概念。比如为了让学生感受、体验“一中同长”，笔者力图让学生认识到“圆是到定点距离等于定长的点的集合”；为了让学生感受、体验“不以规矩不能成方圆”，笔者引导学生创造画圆工具，感知圆规的形成过程。通过发掘相关的资源、素材等，重构数学史，可以引导学生掌握数学知识，形成数学技能，感悟数学思想方法，积累数学基本活动经验。

2. 引导学生活动，让数学史融入数学教学

活动是重构数学史教学的重要载体［２］。教师引导学生进行数学化活动，不仅能让学生从对数学的生活化、经验化认知上升到数学化、形式化的认知，更有助于让学生感受、体验数学史。需要特别注意的是，引导学生进行数学活动，要结合学生的年龄特征、认知特点进行研发、设计，以便让活动更具有针对性、实效性。以教学“平均数”这一部分内容为例，传统的数学教学总是非常强调平均数的计算方法、计算技能训练，诸如“总数量除以总份数等于平均数”，将重点放置在用平均数解决问题上面。立足于数学史的视角，平均数这一部分内容应当更加注重其意义教学。纵观平均数的发展史，笔者发现了这样的几个关键性的知识生发、丰富阶段，即“利用平均数估计大数”“重复测量取平均数减少误差”“平均数的补偿”“公平分担”等。一直到十九世纪中叶，著名经济学家奎奈特提出了“平均数”的概念。对于“平均数”这一概念的历史经纬的梳理，教师在教学中应当把握以下几个方面，去引导学生建构、创造数学知识：一是平均数仅仅是统计数据的一种；二是平均数能反映一组数据的整体水平；三是平均数一定在极端数据中间；四是平均数是一个虚拟性的数据，不一定在一组数据中间；五是平均数会受到一组数据中的每一个数据的波动影响。立足于数学史的视角，教师在教学中应当重点引导学生思考、研究以下几个方面的问题：其一是平均数的内涵主要是指什么？其二是感悟平均数所蕴含的数据分析观念。教学中，教师要注重引导学生的统计活动，尤其是让学生对统计的数据进行整体性分析，从而让学生认识到平均数表示一组数据的一般性、整体性的水平。为此，教师可以在数据中增加一些极端数据，可以改变其中的某一个数据，可以精心设计一组数据以便让平均数不是一组数据中的任意一个数，从而让学生感受、体验到平均数的整体性特质、虚拟性特质、波动性特质等。从历史的视角关照平均数，设计、研发统计活动，就能彰显出平均数的统计意义。

3. 反思学习过程，让数学史载入数学教学

立足于数学史的视角，教师还要引导学生能够跳出“内史”，从数学文化的背景、社会背景等视角来观照学生的数学学习。教师不仅要引导学生进行数学知识的方法论重建，更要引导学生进行数学知识的文化论重建。只有这样，才能生成学习智慧。教学中，教师应当引导学生“以史为鉴”，对相关数学知识的学习过程进行反思、反刍、反省等。只有引导学生反思、反刍，才能让学生在课堂上对相关的数学知识进行深度建构、创新建构。

比如教学“认识平行”，笔者追溯历史，结合学生的认知基础以及知识的逻辑顺序，重构了平行的教学路径。对于平行的概念，我们可以发现数学史上的3种理解方式：其一是直观性感知，即同一平面内永不相交的两条直线；其二是距离性定义，墨子说过，“平，同高也”；其三是角度性定义，即依据同位角、内错角、同旁内角等证明两直线平行。在数学教学中，筆者引导学生从这3个视角对平行进行审视、反思，通过直观感知、动态想象、理性反思，帮助学生建立平行的概念，引导学生探索平行线的画法，反思平行线的画法等，从而让学生创造符号，表示平行关系等。教学中，笔者引导学生反思过程，让学生体会平行之用。在反思的过程中，学生能体会到距离性的平行概念对于画平行线具有较强的启示引导作用。而在学生认识平行、画平行的过程中，充分彰显出数学史对科学教学方法的价值。

教师要善于捕捉数学知识中的历史基因，让其在重构数学知识历史中发挥较大作用。借助数学史，教师在教学中不仅要引导学生学习相关数学知识、习得相关数学技能，更要促进学生数学文化与数学精神的觉醒，从而在数学学习中增强学生的文化自信、精神自信。

参考文献：

［１］ 杨玉东. “本原性数学问题驱动课堂教学”的比较研究［Ｄ］. 华东师范大学，２００４.

［２］ 黄毅英. 数学观研究综述［Ｊ］. 数学教育学报，２００２（０１）：１－８.