［摘  要］ 文章以“数系扩充”的教学设计为例，聚焦问题驱动教学，具体从学情、教学内容与教学目标三个方面进行教学分析，并从“问题驱动，探究概念”“实际应用，揭露本质”“课堂小结，提炼方法”等环节展开教学，以发展学生的数学核心素养.

［关键词］ 数学扩充；问题驱动；数学核心素养

问题驱动教学法又称PBL教学法，是指以问题为主线规划整个教学流程，将学生视为教学的主体，引发学生围绕问题自主探究的教学方法. 问题驱动教学法能让学生更清晰、准确地掌握知识与技能，能够挖掘学生的潜能，拓展学生的思维，提升学生的数学核心素养. 本文以“数系扩充”的教学设计为例，探讨如何开展问题驱动教学法.

教学分析

1. 学情分析

从教学内容来看，学生在接触“数系扩充”这一章节内容之前，对数系的发展（从正整数集扩充到实数集的历程）有初步了解；同时，学生在数学能力方面，具有一定的抽象逻辑思维能力、直观想象能力和数学运算能力. 从思想方法来看，学生接触过多种数学思想方法，如数形结合思想方法、类比思想方法、化归与转化思想方法等.

2. 教学内容分析

“数系扩充”蕴含的数学思想方法很多，教材编排这部分内容一方面是帮助学生回顾旧知，感知数的概念发展与数系扩充过程，另一方面让学生明确数的形成源于数学内部矛盾与生活实际需要，感知数和生活有着密不可分的联系. 本节课对促进学生各种数学能力的发展具有重要意义，也为发展学生的数学核心素养奠定了基础.

实施教学

1. 问题驱动，探究概念

解决数学问题最基本的手段是数学运算，良好的数学运算能力是有效促进数学思维发展的基础，也是促使学生规范思考问题的保障［1］. 本节课的难点是虚数单位的引入，因为虚数单位很难用生活实例来说明. 本节课通过复数发展史上两个著名的方程问题，激发学生对的好奇心，并结合学生原有的运算知识体系，让学生感知运算能够产生新的数学对象，进一步了解数系扩充.

探究活动1 了解数系发展的历史.

观看视频，了解数系发展的历史.

探究活动2 了解复数产生的历史.

问题1：社会发展初期，为了满足计数的需要，出现了自然数；而后为了满足测量与分配的需要，出现了分数；为了刻画相反意义，又出现了负数；后来为了解决正方形对角线的长等问题，出现了无理数……由此可见，社会发展推动着数的发展. 同学们对此有没有补充？

预设：数的发展源于数不够用，比如无理数的形成，就源于边长为1的正方形对角线的长无法用已有的数来表达，从而引发了“第一次数学危机”.

问题2：16世纪，很多数学家对负数和无理数还没有完全接受，又有一个新的数出现了. 1545年意大利数学家卡尔丹的著作《重要的艺术》中提出了这样一个问题：如何将10分为两部分，让它们的乘积等于40？这个问题其实就是解方程x（10-x）=40. 众所周知，这个方程在实数范围内无解，但卡尔丹依然用求根公式写出了两个根. 同学们也尝试用求根公式写出这两个根，并把这两个根分别代入原方程，按照实数的运算法则进行运算，看看这两个奇怪的根是否满足原方程.

预设：学生写出5+，5-两个根，代入原方程后发现这两个根满足原方程.

问题3：三次方程和二次方程一样也有求根公式. 利用三次方程的求根公式，我们可以算出x3-15x-4=0的一个根为2++2-，如果我们承认这个数的话，按照实数的运算法则，这个根就可以化简为4，而4确实是这个三次方程的根.

设计意图 让学生感受到加入运算，得到的答案竟然是正确的，一步步引导学生体会的合理性，并且激发学生的学习兴趣.

教师继续介绍：不仅刚才的两个问题利用得到了正确答案，而且在整个18世纪，不管什么地方，在数学推理的步骤中用得到的结果都被证明是正确的. 莱布尼茨说道：“虚数是神灵循迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物.”18世纪末19世纪初，韦塞尔、阿尔冈、高斯给出了复数的几何表示. 正是这种直观的几何表示，揭开了复数的神秘面紗，确立了复数在数学中的地位.

设计意图 让学生感受虚数并非凭空臆想而来的，它有发展过程，有曲折、有迷茫、有徘徊、有抗争. 渗透复数发展史，让学生从根本上掌握复数的内涵与外延，体会数学家们在知识探索与创造中具有的数学精神.

探究活动3 数系的扩充.

教师介绍用i表示，将i称作虚数单位.

问题1：把新引进的数i添加到实数集中，i和实数进行运算又可以产生一些新的数. 在实数的运算律保持不变的前提下，大家试一试、看一看i和实数运算会产生哪些新的数.

预设：学生通过运算得到了新的数，比如a+i，a-i，ai，（a∈R）.

追问：这些新的数还可以继续运算产生其他新的数吗？这些新的数有统一的形式吗？

预设：新的数运算后还可以产生其他新的数，新的数都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式.

设计意图 让学生经历由虚数单位i引起的数系扩张过程，提出复数概念水到渠成.

教师板书复数的定义，介绍与复数有关的概念（实部、虚部、复数相等……）

问题2：引入虚数单位i后，实数集扩充成了复数集. 复数集是由哪些数组成的？

预设：复数集由实数集和虚部不为0的复数组成.

教师介绍虚数和纯虚数的概念.

追问：可以用韦恩图表示复数的分类吗？

设计意图 让学生通过思考，自己分类复数，尝试用图形语言直观表示出各种数集之间的关系.

2. 实际应用，揭露本质

例1 判断正误.

（1）复数一定是虚数；（2）复数的虚部是虚数；（3）纯虚数一定是虚数；（4）z=a+bi（a，b∈R）是虚数；（5）在z=a+bi（a，b∈R）中，若a=0，则z为纯虚数；（6）i是纯虚数，也是虚数，还是复数；（7）若a∈C，则a2≥0；（8）3i>2i.

设计意图 通过这组判断题，加深学生对复数概念的理解.

例2 当实数m取何值时，复数z=m（m-1）+（m-1）i分别为实数、虚数与纯虚数？

例3 若（x+y）+（x-2y）i=（3x+y）i+（2x-5），则实数x，y的值分别是多少？

例4 若关于x的方程3x2-x-1=（10-x-2x2）i有实数根，求实数a的值.

设计意图 例4是例3的深入延伸题，通过这道例题，让学生体会利用复数相等的充要条件可以把复数问题转化为实数问题，体现了化归与转化数学思想.

3. 课堂小结，提炼方法

要求学生说一说本节课学了哪些内容，获得了哪些知识，是通过什么方法获得的；在知识形成与发展的过程中，获得了什么启示.

学生通过对课堂教学流程的回顾，自主用思维导图梳理并总结了知识结构. （如图1所示）

教师趁学生成就感满满，开展课堂总结：今后，在我们的学习与生活中，难免会遇到各种各样的挫折与困惑，不论前路多么艰难，我们都要像数学家们一样想方设法克服困难，闯出一片新天地，这是一种创新，也是自我价值的体现.

设计意图 课堂总结对于一节课来说，属于收口环节，它具有承上启下、画龙点睛的作用. 因此，教师不仅要引导学生总结知识、方法等，还要引导学生从“四基与四能”“三会”以及六大素养等方面提升元认知能力，发展高阶思维［2］.

4.布置作业，拓展评价

略.

教学思考

1. 问题是探究的载体

问题是数学教学的灵魂，正因为有了问题的存在，才能顺利激发学生的学习热情，开启学生的思维大门，为探究活动提供载体. 本节课教学的每一个环节都从问题中来，又回到问题中去，学生在一个个问题的引导下，逐步认清数学运算的本质，总结出数系扩充的主要原因和所遵循的一般规律.

2. 尊重学生的主体地位

新课标一再强调学生在课堂中的主体地位，问题驱动教学法同样将学生放在教学的首要位置，每一个问题都基于学生已有的认知基础，根据学生的最近发展区而创设［3］. 学生通过自主思考、合作交流等方式，不仅逐个突破了问题，还进一步发展了数学思维. 同时，随着问题的解决，学生从中提炼出了类比思想、整体思想等，这些都是发展数学创新意识的关键.

3. 以史为鉴渗透数学文化

数学文化不仅体現了人类的发展与进步，还彰显了人类在探寻真理道路上的务实与开拓精神. 在本节课中，教师在各个环节都有机地融入数学史，一方面满足了教学需求，另一方面提升了学生的数学核心素养. 在数学文化的熏陶下，学生开启了自主探究模式，揭露了隐藏在知识背后的真理.

参考文献：

［1］ 郑毓信. 中国数学教育的“问题特色”［J］. 数学教育学报，2018，27（01）：1-7.

［2］ 江琦. 利用问题驱动  发展数学理解力——以苏教版“解决问题的策略：转化”教学为例［J］. 福建教育学院学报，2022，23（08）：93-94.

［3］ 唐剑岚，周元. “授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”——以《等差数列的前n项和》公式推导片段为例［J］. 数学通报，2016，55（09）：41-46+49.

作者简介：何永丽（1984—），本科学历，中学一级教师，广东省中小学骨干教师，从事高中数学教学工作，荣获第二届广东省中小学青年教师教学能力大赛高中数学学科一等奖第二名，深圳市中小学青年教师教学能力大赛高中组数学学科一等奖第一名.