［摘  要］ 根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的《普通高中教科书·数学（2019年版）》发行了近四年，课程改革已经成型，然教学改革明显滞后. 文章结合“解三角形”同课异构的案例，从核心素养的角度浅谈高考数学复习.

［关键词］ 数学思想；核心素养；方程思想；函数思想

问题提出

《普通高中數学课程标准（2017年版）》（简称《数学课程标准》）指出：“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神与创新意识，提升数学学科核心素养.”［1］关于数学学科核心素养，章建跃教授在《核心素养立意的高中数学课程教材教法研究》（简称《教材教法研究》）中指出：“理性思维和科学精神是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个数学学科核心素养要素（也指六大关键能力）的灵魂，所以发展学生的数学学科核心素养是数学学科立德树人的具体化……”［2］因此，高考数学复习应以发展数学学科核心素养为追求，挖掘题材的育人功能，促进学生提升数学“六大关键能力”，达到立德树人根本目的.

数学学科核心素养的内涵

《数学课程标准》指出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现.”［1］数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这几方面既相互独立又相互交融，是一个有机整体.

《数学课程标准》进一步指出：“数学学科核心素养的形成与发展的基本途径是数学学习与应用数学.”［1］因此，发展数学学科核心素养的重要途径之一在于应用数学，而解决问题是应用数学的重要体现. 所以，高考数学复习要让学生在掌握“四基”、提升“四能”的基础上，有效发展数学学科核心素养.

“解三角形”的案例分析

笔者有幸参加了本市一次高三复习“解三角形”的同课异构活动，听了一节好课，下面呈现这一节课之片段，供分享.

上课伊始，G老师安排了课前测试，题目如下.

课前测试（5分钟）：

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a.

（1）求A；

（2）若AD是BC边上的中线，AD=，c=3，求△ABC的面积.

师生活动：学生独立思考并作答，教师课堂巡视，针对性辅导学生. 3分钟后G老师示意学生甲上黑板板书，如下：

（1）由2cosA（ccosB+bcosC）=a及正弦定理，得2cosA（sinCcosB+sinBcosC）=sinA，即2cosAsin（B+C）=sinA. 因为 A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA≠0，所以2cosA=1，即cosA=. 因为0

5分钟测试结束，G老师与学生交流对话如下：

G老师：测试结束，请同学们停止作答. 第（1）问同学们基本上都能限时完成作答，我们先来看看甲同学的作答情况. 大家觉得他做得怎么样？

生1：过程整洁，推理严谨，很好啊.

G老师：嗯，很规范，值得大家学习. 还有不同的解法吗？

生乙：有，我跟他的解法不一样.

G老师：好，投影出来让大家相互学习.

生乙的解题过程如下：

（1）由余弦定理，得ccosB+bcosC=c·+b·=+=a. 因为2cosA（ccosB+bcosC）=a，所以2acosA=a. 因为a>0，所以cosA=，又0

生2：这样也可以，可惜我没有做下去……

G老师：嗯，乙同学做得很好，书写规范，过程严谨. 请大家比较一下，他们两人的解法有什么异同？

生3：乙同学利用余弦定理，将角化边求得角A，而甲同学利用正弦定理，将边化角求得角A. 两人的解法不同，却殊途同归.

G老师：对. 他们选择的知识工具不同，一个用的是正弦定理，一个用的是余弦定理. 还有吗？有没有相同点呢？

生4：相同点？

G老师：嗯.

生5：我懂了. 无论是边化角，还是角化边，都是“解方程——消元法”的应用.

G老师：对啦，你太厉害了，一下子就看穿了.

生4：原来是这样……

G老师：请同学们继续求解第（2）问，限时5分钟. 建议大家发散思维，从不同的角度去攻击问题.

5分钟测试结束，G老师选取三位学生的作答情况投影出来，供班上学生交流学习.

学生丙的解答过程如下：

（2）设BD=DC=x，在△ABC中，由余弦定理，得4x2=b2+9-3b①；在△ABD中，由余弦定理，得9=x2+-x·cos∠ADB②；在△ACD中，由余弦定理，得b2=x2+-xcos∠ADC ③.

联立①②③，结合∠ADB+∠ADC=π，得b=2或b=-5（舍），所以S△ABC=bcsinA=.

学生丁的解答过程如下：

（2）由=（+），得2=（2+2+2·），即=·（9+b2+3b），解得b=2或b=-5（舍），所以S△ABC=bcsinA=.

学生戊的解答过程如下：

（2）如图2所示，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B

生7：丙同学采用的是几何法，多次用余弦定理求解；丁同学用向量法求解；戊同学建立坐标系，用坐标法求解.

G老师：非常好，总结到点子上了——他们分别采用几何法、向量法和坐标法解题. 大家对比一下各解法的优劣.

生7：向量法最好，效率最高.

生8：坐标法也很快呀.

生9：坐标法要建系、读坐标，没向量法快.

……

G老师：看来大家都有了自己的想法. 不过，就这道题而言，几何法显然复杂一些，向量法与坐标法占优. 可是，往往向量法与坐标法并用，才能得到更好的效果. 你们有印象吗？

生10：对，立体几何大题，求空间角或求空间距离，两种方法并用.

G老师：嗯，很不错，那么快就想起来了. 另外，请大家再想一想，刚才三位同学的解法有没有相同之处？

生11：相同点？

G老师：没错，有没有相同点呢？

生12：这个……

G老师：比如解题思想上有没有相同之处？

生13：老师，他们的解题思想一致，都是建立方程或方程组解题.

G老师：大家说对不对？

生14：对哦，方程思想.

G老师：是的，他们都能根据方程思想去建立方程或方程组，只是他们建立方程的依据不一样而已. 求解与三角形有关的问题，常常可以转化为某个或某些量，此时需要建立方程或方程组，这是经验，也应该成为常识. 当然，这类问题有时会转化为求某个量的取值范围或最值，这属于函数问题.

……

点评 在这个案例中，G老师沒有直接讲解测试题如何解答，测试过程也没有作任何提示，而是让学生独立解题，巡视中给予个别学生必要的帮助. G老师这样做的目的，是为了诊断学情，发现问题，为针对性教学做好铺垫.

测试结束后，G老师并没有“喧宾夺主”地进行讲解，而是引导学生进行解题评价，其中不失时机地鼓励学生创新解法，力求解法多样. G老师有意营造“百家争鸣”的探究氛围，其目的是让学生充分调动有关知识经验解题. 其中，求解第（1）问，既可以利用正弦定理，又可以利用余弦定理；求解第（2）问，既可以利用余弦定理建立方程，又可以利用向量法或坐标法建立方程. 不同解法在课上交流，有利于完善学生的知识结构，丰富学生的解题经验，进而达到夯实“四基”、提升“四能”的目的，为发展数学学科核心素养积蓄动力.

这一课，G老师通过一题多解的方式，充分调动学生数学思维与探究热情，取得了较好的成效. 一题多解，其实质是要求学生根据问题情境，灵活调用已有知识和经验，通过联想、比较、归纳、类比、分析、综合等思维方式，从不同角度、不同侧面去攻击问题，最终达到用不同途径、不同方法解决同一问题的目的. 因此，一题多解，既有利于学生掌握“四基”、提升“四能”，又有利于学生发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养.

此外，G老师在课上重视从数学思想方法的角度去提炼解法，这有利于学生抓住解题要领，把握问题解决的关键. 学生解题难以突破，多半是想不到和不会想. 究其根源，是缺乏对数学思想方法的深刻理解. 因此，G老师在解题实践中，有意渗透数学思想方法，这对于学生解题能力的提升大有裨益. 在上述案例中，尽管第（2）问的三种解法所用的知识不同，但三种解法都受方程思想的指引而被发现，三种解法均为了建立方程模型的需要而产生. 从这个角度来看，由于数学思想方法对解题有“方向”引领的作用，因此它对数学建模、数学推理都有显著的促进作用.

核心素养立意的高考数学复习探讨

综合上述案例分析，笔者认为，以发展核心素养为追求，高考数学复习应做到如下几点.

1. 夯实“四基”、提升“四能”

章建跃教授在《教材教法研究》中明确指出：“掌握数学知识是发展数学学科核心素养的前提. 离开知识的理解与应用，核心素养的发展将成为一句空话.”［2］因此，以发展学生的数学学科核心素养为追求，高考数学复习首先要夯实“四基”、提升“四能”.

第一，要让学生有反复理解教材中基本而重要的数学概念的机会，让学生多次经历数学对象（概念）的归纳、概括过程，提升其直观想象、数学抽象等素养；第二，要让学生有多次推理、论证教材中基本而重要的公式、定理、性质的机会，让学生多次经历“发现—猜想—证明”的过程，提升其数学运算、逻辑推理等素养；第三，要让学生有反复应用教材中重要的概念、公式、定理、性质去解决问题的机会，让学生经历数学建模与数据分析的全过程，提升其数据分析、数学建模等素养.

学生只有扎实掌握“四基”、提升“四能”，才能有效发展数学学科核心素养，才能在课程改革、高考改革的浪潮中行稳致远，取得优秀的成绩.

2. 把握“数学现实”，遵循认知规律

荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔认为，数学源于现实，必然扎根于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”. 因此，笔者认为高三数学复习，教师应充分了解学生的“数学现实”，要清楚学生的需求（弱项）是什么，才能展开针对性复习，取得较好的备考效果.

把握学生的“数学现实”，其实质是在学生的最近发展区展开教学，最大限度地激发学生思考与探究，提升学生的数学学习兴趣与数学思维能力；把握学生的“数学现实”，其实质是以发展学生核心素养为导向，根据学生的认知规律，科学地安排复习内容，让学生有反复理解与应用重要的数学知识、思想方法的机会，使学生在夯实“四基”、发展“四能”的过程中有效发展数学学科核心素养.

3. 力求一题多解，培养发散思维、创新思维

发散思维，又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式——百度释义. 它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状. 不少心理学家认为，发散思维是创新思维的最主要特点，是测定创造力的主要标志之一.

培养发散思维的重要途径之一是一题多解. 学生在一题多解的探究过程中，充分调动已有知识和经验，积极联想、比较、归纳、类比、分析、综合，寻求从不同方向破解问题. 因此，在高三数学复习教学中，教师应积极尝试一题多解，充分调动学生的数学思维，激发学生的探究兴趣，让学生在解题实践中夯实“四基”、提升“四能”，发展数学学科核心素养.

4. 突出数学思想方法，促进核心素养发展

数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识.

数学思想在解题中的作用是明确解题实践中的“方向”问题，常常也作为解题方法有效破解问题. 比如，上述案例中的两个问题都可以转化为求解某个或某些量的问题，根据经验或常识，学生会自觉地建立方程模型求解. 这个过程体现了转化思想与方程思想，而这些思想方法在解题实践中具有广泛性. 正因为如此，有学者毫不掩饰地称：“掌握数学思想，就是掌握數学的精髓. ”

正如前文所述，由于数学思想方法对解题有“方向”引领作用，因此它对学生数学学科核心素养的提升有显著的促进作用. 数学思想方法解决了解题的“方向”问题，而学生只有明确了解题“方向”，才能有效进行数学建模、数学运算，才能精准展开逻辑推理. 总之，在高三数学复习教学中，教师要在解题教学中突出数学思想方法，其根本目的是促进学生数学学科核心素养的提升.

结束语

2022年的数学高考Ⅰ卷可谓让人耳目一新，同时又引人深思. 考试结束后，一时间社会上“诉难”情绪弥漫，考生、教师、家长都抱怨太难了. 2022年的数学高考Ⅰ卷真的难上天了吗？笔者实在不敢苟同. 诚然，2022年的数学高考Ⅰ卷的个别题目与往年同类题目相比是难了一些，但大部分题目，情境设置新颖，褪去了以往“常规”的衣裳，要求考生能有效排除干扰，抓住问题本质，灵活调用知识方法解题. 因此，笔者认为2022年的数学高考Ⅰ卷考查的正是考生的“四基”“四能”以及数学学科核心素养，有效地为党和国家选拔出了优秀人才.

数学新课程改革已然成型，新教材落地将近四年，高考改革有目共睹，那么教学改革也应积极行动. 最后，借章建跃教授在《教材教法研究》中语重心长的一席话供读者反思、共勉：“本轮高中数学课程标准修订工作的一个显著特点是回归数学学科本质，回归数学教育的本来面目，注重发挥数学学科独特的育人功能……数学教育要发挥数学的内在力量，数学教学不能搞花架子，要努力把数学教好，教好数学就是落实核心素养.”［2］

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.

作者简介：许永华（1983—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教育教学工作，曾获广东省教育教学成果奖一等奖、广州市教学成果奖（未评等级）.