［摘  要］ 文章以“组合数”一课为例，以目标明确、层层递进的问题串为导向，设计教学情境，引导学生主动探究并深度学习，在“三新”背景下尝试课堂问题引领教学.

［关键词］ 问题串；问题情境；类比；数学探究

增强问题意识是新课程六大教学理念之一，“问题”是数学的“心脏”，在学生思维的最近发展区设计合适的问题，有助于学生理解概念、发现规律，有助于学生了解知识的来龙去脉，有助于学生强化问题意识、发展探索精神. 在教学设计时，教师应根据教学目标、教学内容、教学重点及难点，把主要学习内容转化成教学问题. 特别需要注意的是，教师应站在学生的角度设计问题，把需要讲解的知识内容转换成一个个合理有序、层层递进的问题，同时设计适当的发散性问题，培养学生的求异思维和创新能力.

在实际教学中，课堂时间（长度）有限，在不能改变课堂时间（长度）的条件下，只有想法改变课堂的“宽度”和“深度”，那么如何去改变呢？笔者认为，如果将问题与数学探究有机地结合在一起，可以实现改变，因为这有助于学生发现问题、分析问题、解决问题，促进学生对知识的理解与掌握. 下文以人教A版选择性必修第三册“组合数”一课为例，阐述笔者的思考.

内容解析

“组合”是学习“排列”后的第二个重要且特殊的计数模型. 本节课充分发挥问题导向与引领的作用，以及学生的主体性作用，设法营建平等、和谐、开放的教学环境，充分挖掘学生的学习潜能，使学生在自主探究、合作交流的过程中，发现数学本质，积极主动地构建新知. 渗透“转化与化归”“分类讨论”“特殊到一般”“类比”等数学思想方法，使学生构建新知的同时提升数学能力与数学学科素养.

1. 教材分析

本节课的教学内容是《普通高中教科书·数学选择性必修第三册》第六章第二节的“组合数”，主要包含组合数的定义、组合数公式、组合数的性质，是分类加法与分步乘法计数原理、排列知识的延续，也为后续研究二项式定理、二项式系数的性质、等可能事件概率做铺垫.

2. 学情分析

通过前面的学习，两个计数原理，排列、组合的概念，大部分学生已经比较熟悉了，他们能清楚地辨析组合与排列问题，能熟练运用两个计数原理、排列数的计算公式，能借助列举法处理元素个数较少的组合问题. 通过简单应用，学生积累了一些处理计数问题的经验：先分类后分步、先取后排、先特殊后一般. 这为本节课的顺利推进提供了有利条件.

3. 教學目标

基于上述教材分析及学情分析，制定如下教学目标：

（1）采用类比的方法探究得到组合数的定义及符号表示，理解组合数的定义.

（2）借助排列与组合的关系推导两个组合数公式，在应用公式的过程中体会两者的差异并掌握公式特点及使用条件，同时发现组合数的两个性质并进行简单的证明与应用.

（3）通过生活实例抽象出数学模型，通过类比的方法，特殊到一般以及分类与整合的数学思想，提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养，让学生充分感受数学源于生活又服务于生活，增强学生应用数学的意识.

4. 教学重难点

教学重点：组合数的定义、组合数公式、组合数的性质.

教学难点：组合数公式的推导.

教学过程

1. 创设情境，导入新课

每年一届的校运会马上就要开始了，根据学校安排，要在各班的非运动员中招募志愿者参加志愿服务活动.

问题1 高二（6）班有非运动员12人，从中招募3名志愿者分别参加跳远、跳高、铅球的志愿活动，请问有几种不同的方法？

师生活动：提问个别学生，其他同学聆听，教师总结归纳，共同抽象出排列模型，回忆排列数公式.

设计意图 一方面从身边的生活创设数学问题情境，激发学生学习的兴趣与积极性，同时让学生感受数学源于生活又服务于生活；另一方面回顾上节课学习的排列的概念及计数方法.

问题2 高二（6）班有非运动员12人，从中招募3名志愿者，请问有几种不同的方法？

师生活动：教师启发学生思考问题1与问题2的区别与联系，引导学生回顾组合的定义.

设计意图 通过设计容易产生混淆的问题，引发学生认知冲突，促使学生寻找一种新的计数方法，激发学生的求知欲，从而引出新课.

追问1：这是一个什么问题？结果能用列举法表示吗？

师生活动：师生通过分析得出这是一个组合问题，但很少有学生能列出正确答案，原因是12这个数太大，一一列举很烦琐，不容易得出结果. 由于列举法适合处理元素较少的组合问题，随着元素个数的增加，操作越来越麻烦，因此教师提出了追问2.

追问2：有没有更便捷的方法？能否像排列数公式那样，找到可以求解所有组合问题的公式呢？

设计意图 列举法不能列举所有组合问题的结果，需要引入新的计数方法，使学生明白引入新知的必要性.

2. 类比探究，构建概念

问题3 排列与组合是两个平行概念，能否用类比的方法进行探究？（用PPT展示排列数的定义）从哪些方面进行类比探究呢？

师生活动：教师引导学生回顾上节课学习排列时的知识点，共同分析得出可以从定义、计数方法、符号表示、公式、应用等方面进行类比探究.

追问1：组合与组合数是同一概念吗？

师生活动：学生回答“不同，可以从特殊情况加以分析”.

追问2：如果问题2的结果用C来表示，那么结果是多少呢？

设计意图 教师引导学生用类比的方法对组合进行探究，既回顾了排列的相关内容，又为组合的探究指明了方向. 培养学生观察、思考、分析能力，以及抽象概括能力.

3. 合作交流，探究公式

问题4 通过辨析排列与组合的概念知道，排列是“既选又排”，而组合是“只选不排”，能否利用这个关系，结合分步乘法计数原理，推导组合数公式呢？即C等于多少？

师生活动：（1）探讨研究方案：从特殊到一般的思想以及排列与组合的关系入手，探究组合数公式.

（2）制定探究过程：分成6个小组进行探究（组内进行交流、讨论、合作）. 具体安排如下：第1、第2小组从3个不同元素中取出2个元素，探究组合数与排列数的关系；第3、第4小组从4个不同元素中取出3个元素，探究组合数与排列数的关系；第5、第6小组从5个不同元素中取出3个元素，探究组合数与排列数的关系.

（3）展示探究成果.

（4）归纳猜想证明.

（5）分析公式特点.

师生活动：每个小组派一个代表就本小组的探究结果与全班同学一起分享、交流（边投影结果边解说），教师适时提问、点评、总结. 当学生分组展示完C与A，C与A，C与A的关系后，教师追问如下.

追问1：这三个特殊情形能否推广到更一般的情况呢？结论是什么？（A=CA）

追问2：这个结论有什么实际意义呢？

追问3：通过前面的学习，知道排列数公式有两个，那么组合数公式有几个呢？

师生活动：教师引导学生归纳结论A=CA，通过分步乘法计数原理解释此公式的实际意义，通过变形得到组合数公式有两个，共同分析两个公式的特点、规定及使用条件.

设计意图 让学生体会用特殊到一般思想解决问题的思路，通过小组分工、交流探讨、合作学习，锻炼学生的合作精神及集体意识；通过给足思考的时间以及上台交流的舞台与空间，培养学生的数学语言组织能力、交流表达能力、归纳猜想能力、推理论证能力，以及思考问题、分析问题、解决问题的能力，最终实现“用数学的眼光观察世界”“用数学的思维思考世界”“用数学的语言表达世界”.

4. 公式应用，探究性质

例1 计算下列式子的值.

（1）C；（2）C；（3）C；（4）C.

师生活动：学生独立完成计算后，教师逐个提问，学生回答，最后教师总结“计算C与C采用乘积公式更好，计算C与C采用阶乘公式更好”，并引导学生理解阶乘公式的计算技巧及约分特点.

设计意图 让学生熟悉组合数公式的特点，并应用组合数公式解决简单问题，巩固组合数公式的同时为引出组合数的性质1做铺垫.

问题5 观察计算结果，同学们发现了什么？能解释你的发现吗？

生：如果两个组合数上标的两个数之和等于下标，那么这两个组合数相等.

师：用数学符号怎么表示呢？

生：C=C.

追问：刚才从两组特殊的组合数猜想到C=C，同学们能证明这个式子吗？

师生活动：学生分组交流后派代表汇报如下，从组合数的意义来看，从n个不同元素中取出m个元素与从n个不同元素中取出剩下的n减m个元素是一一对应的，所以组合数相等. 从组合数公式入手，我们采用阶乘公式来验证（投影解题过程）. 最后教师进行评价.

设计意图 引导学生学会观察、发现规律，进一步培养学生观察、归纳、猜想以及推理论证等能力.

问题6 （1）计算C+C的值；

（2）已知C=C，求n的值.

设计意图 通过变式题组训练，一方面强化组合数公式的应用，训练从常数到单变量，由浅入深，层层递进；另一方面巩固组合数的性质1，再次体会其大化小、繁化简的转化功能.

问题7 从含有班长的12名志愿者中招募3名志愿者，有幾种不同的方法？

追问1：从含有班长的12名志愿者中招募3名志愿者，若班长必须参加，有几种不同的方法？

追问2：从含有班长的12名志愿者中招募3名志愿者，若班长不能参加，有几种不同的方法？

设计意图 利用组合知识解决生活中的实际问题，一方面让学生再次体会数学源于生活又服务于生活的理念，另一方面让学生初步尝试解决特殊条件下的组合问题，在此基础上掌握此类问题的解决方法，为引出组合数的性质2做铺垫.

问题8 上述三个问题之间有何联系？同学们能尝试写出几个类似的特殊结论吗？

问题9 这些结论能推广到一般的形式吗？是什么？同学们能否证明它们呢？

师生活动：学生派代表发言，针对问题8，学生得出如C=C+C，C=C+C的结论，教师补充、说明、评价，师生共同分析其合理性. 针对问题9，学生得出多种形式的结论，如C=C+C，C=C+C，教师及时肯定这些结论都是正确的，公式的本质是一样的，只是呈现的形式不同，书本上习惯用前者来表示.

设计意图 培养学生观察、归纳、类比、分析等能力，培养学生大胆质疑的学习习惯，以及辩证统一的思维能力，让学生明白归纳猜想的结论未必正确，要进行推理证明.

5. 课堂小结，理解升华

问题10 本节课我们重点学习了哪些知识、方法、数学思想？

教学反思

1. 以问题串为导向，设计教学情境，课堂生成水到渠成，课堂效率事半功倍

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》倡导教师要善于设计适当的问题串帮助学生探究新知，理解新知，设法突破学习障碍，从而更好地掌握新知. 笔者认为，的确如此，要创造性地使用教材，就应该善于设计问题，掐点地提出问题，好的问题能激发学生思考，引导学生深度学习. 因此，问题串的设计是决定教学效果的主要因素，尤其是能突出重点、突破难点、突显关键点的问题串的设计，是上好一节课的关键.

本节课共设计了10个大问题，在一些大问题下又设计了若干个追问. 追问是考虑学生的个体差异，依据学情和课堂的进展、学生的疑惑而设计的. 追问要以解决或深入理解问题为目的，体现问题的驱动性、启发性、关联性. 本节课以层层递进的问题串为导向，不断向学生提供参与数学活动的机会，加上教师适当引导，帮助学生在自主探究与合作交流的过程中真正理解和掌握本节课内容，很好地体现了“以学生为主体，教师为主导”的新课程理念，切实做到了“学生为学习的主人，教师为组织者、引导者、参与者”，起到了事半功倍的效果.

2.以生活中熟悉的例子创设问题情境，自然、切题，富有生活气息

“问题”被喻为数学的“心脏”，在数学教学过程中，教师精心设计数学问题，创设问题情境，以数学问题为前提组织教学是非常重要的. 它是激发学生积极思考、掌握知识，培养学生数学能力的重要手段，是教师输出信息并获得反馈信息的重要途径.

本节课通过创设“校运会志愿者”这一学生熟悉的生活情境，趁机提出所要探究的数学问题，让学生从身边的数学知识入手，体会数学源于生活又服务于生活的课程理念，激发学生学习的兴趣与积极性，为探究新知做足了准备. 同时提出的问题让学生产生认知冲突，激发他们的数学思维，既引导学生回顾上节课学习的排列知识、组合的定义，又自然地引入新知.

3.以公式探究为明线，思想方法、能力素养为暗线，分层探究，深度理解

本节课始终围绕组合数公式进行探究，注重启发学生的思维，激发学生自主探究. 在教学中，教师抛出一个问题后不要急着给出答案，舍得给学生想的时间、说的机会，等个别学生说完后继续倾听其他学生不同的想法，让学生的思维过程充分暴露出来后再进行补充、归纳、点评. 例如，在组合数公式的推导中，教师给学生提供了口头表达、上台展示、小组讨论、合作交流的机会，为学生搭建了展示思维过程的舞台. 在知识的生成过程中，可以利用特殊到一般的方法引导学生探究，例如，组合数公式、组合数性质的探究，都是先引导学生从较小的组合数与排列数入手，再计算较大的组合数，最后计算一般的带字母的组合数C.从特殊到一般，从具体到抽象，遵循知识的发生发展规律，符合学生的认知规律. 尽量做到问题层层递进、由浅入深，在知识的理解过程中渗透转化与化归、特殊到一般、分类讨论等重要数学思想方法，从而提升学生的数学学科素养.

作者简介：黄金明（1982—），本科学历，高级教师，从事中学数学教学与研究工作，曾获第八届全国数学教师优秀课观摩大赛全国一等奖、教育部“部级优课”、福建省第二届教师教学技能大赛三明市第一名等荣誉，三明市教学名师培养对象，三明市学科带头人.

基金项目：三明市2023年度“名师名校长培养对象”专项课题“大单元教学背景下‘高中数学单元起始课教学校本研究”（ZXKTM-2331）.