李齐荣

［摘要］ 以一节试题讲评教学过程设计为例，探索思维进阶策略，通过预设问题，铺设台阶，经历过程，引导学生思维由浅表向本源进阶；通过追问启发，一题多解，引导思维由应用向分析进阶；通过引导学生利用从特殊到一般地解决问题，引导学生思维深度进阶；通过归纳思想，深度学习，引导学生思维从分析到创新进阶，发展学生数学核心素养，让创新意识的培养贯穿数学教育的始终。

［关键词］ 深度学习；数学思维进阶；创新意识

弗赖登塔尔在《作为教有任务的数学》中提出了“再创造”这一数学教学思想。笔者认为，学生的“再创造”应该从思维进阶开始。教师在平时的教学活动中，要以实例引导学生利用数学符号建立方程、不等式、函数等，表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义；再使用类比、归纳、从特殊到一般、从一般到特殊等逻辑方法将问题一般化，探索规律，培养兴趣，促进学生主动学习、深度学习、思维进阶，帮助学生脱离题海，形成模型思想和应用意识，激发创新思维，发展数学学科核心素养。本文以泰州市姜堰区2021-2022学年度第一学期期末测试九年级数学最后压轴题的教学设计为例，阐述尝试引导学生思维深度进阶的方案。

如图1，已知点P是抛物线y=-x²+1的顶点，矩形ABCD中，顶点A、B在该抛物线上（其中点A在第一象限），顶点C、D在x轴上，连接线段BD、PD、BP，DP、AB交于点E。

（1）若点D坐标为（m，0），则点A、B、P坐标分别为A（▲，▲）、B（▲，▲）、P（▲，▲）。

（2）①求证：∠BPD=90°；②连接PA，求证：PA²=PD·PE。

（3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线y=-x²+1才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将y=-x²+1作一般化处理，并提出了如下两个问题：①如图1抛物线y=-ax²+c（a＜0）中字母a、c满足什么条件才能使∠BPD=90°，并说明理由；②如图2抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）中字母a、b、c满足什么条件才能使∠BPD=90°，请直接写出结论。

一、教学分析

（一）题目分析

新课标指出，发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。本题主要考查学生对二次函数、锐角三角函数、相似三角形、勾股定理等知识点的综合运用能力，以抛物线为载体，以点的坐标为桥梁，以坐标的几何意义为媒介，建立数与图形之间的联系，领会数形结合、方程、函数等数学思想，指向数学运算、直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养。同时，出题者希望借助本题再次引导学生回顾苏科版初中数学教材“二次函数图像及性质”中的探究方法，突出对学生阅读分析能力、推理探究能力的考查；引导学生不要只顾埋头刷题，要抽空抬头静思，从特殊到一般地进行探索、推理、实践，培养学生的自主探索、推理、实践能力和创新思维。

（二）学情分析

本题整体得分率较低，存在的主要问题有顶点坐标写错、过程中计算出错、时间不够未能答全等。对此，给出的解决方法有：一先想后算，审清题目，理清思路，避免中途更改；二多想少算，解法优化，择优书写，少走弯路，完整过程不丢分。

（三）目标分析

一是经历自主探究的过程，培养学生独立探究和分析问题的能力。二是经历合作探究过程，培养学生合作意识和创新能力。三是经历类比、猜想、论证的数学思维过程，让学生体会从特殊到一般、从一般到特殊的归纳演绎推理过程，培养学生的数学思想方法和数学建模能力。四是经历这些数学问题探究过程，让学生感受数学的神奇魅力，提高学生学习数学的兴趣。

（四）重点与难点

二次函数、锐角三角函数、相似三角形、勾股定理等知识点的综合运用能力及择优书写解题过程的辨析能力培养；从特殊到一般、从一般到特殊的归纳总结建模，促进思维进阶，进行深度學习。

二、教学过程设计

（一）铺设台阶，经历过程，思维由浅表向本源进阶

问题1：抓住关键词，特殊引入，回答下列问题：

（1）点P是抛物线y=-x²+1的顶点，则P（___，___）。

（2）矩形ABCD中，顶点A、B在该抛物线上（其中点A在第一象限），顶点C、D在x轴上，若点D坐标为（1/2，0），则点A、B、P坐标分别为A（___，___）、B（___，___）、P（___，___）。

（3）指出（2）中A、B、C、D四点坐标间的关系。

（4）①在满足（2）的情况下，求证：∠BPD=90°；②连接PA，求证：PA²=PD·PE。

【设计意图】从特例引入。

问题2：（1）若点D坐标为（m，0）（由点A在第一象限，隐含m﹥0的条件），则点A、B、P坐标分别为A（___，___）、B（___，___）、P（___，___）。

（2）对比各点坐标间关系，哪些有变化？哪些不变？

（3）①求证：∠BPD=90°；②在此基础上，连接PA，求证：PA²=PD·PE。

（4）上面用的方法在这里可以同理应用吗？

【设计意图】由特殊定点到动点，对比归纳，类比学习。

问题3：善于思考的小明将y=-x²+1作一般化处理为y=-x²+c（c﹥0），当c满足什么条件才能使得∠BPD=90°，并说明理由。

【设计意图】引入一个参量，让函数逐步走向一般。

问题4：如图1抛物线y=ax²+c（a＜0）中，字母a、c满足什么条件，才能使∠BPD=90°，并说明理由。

【设计意图】再引入一个参量，让函数更加一般化，引导学生思维逐步进阶。

问题5：抛物线y=ax²+bx+c可否化为抛物线y=ax²+c的形式？

【设计意图】为解决下面问题铺设台阶，引导学生思考二次函数y=ax²、y=ax²+k和y=ax²+bx+c间的关系，课本中是如何探索这类问题的，引导学生思维进阶。

问题6：如图2抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）中字母

a、b、c满足什么条件才能使∠BPD=90°，请直接写出结论。

【设计意图】从二次函数的特殊形式到一般式，引导学生由特殊到一般，层层进阶。

笔者在引导学生思维进阶前了解到，苏科版数学九年级下册《教师教学用书》中提出“第5章第2节，从描点法画二次函数y=x2的图像开始，用运动、变化的观点，由特殊到一般运用数形结合的思想逐步探讨二次函数y=ax²、y=ax²+k和y=ax²+bx+c的图像和基本性质，这是二次函数的核心内容，也是应用二次函数知识解决相关问题的基础”。本题命制的主导思想亦是如此。由具体二次函数及具体数解决问题，只是浅显的应用，其本源要深度追溯到在一般式中的应用。因此，笔者预设问题，层层深入，让学生亲身体验知识的发生、发展过程，最大限度地引导学生投入观察、思考、操作、推理、抽象的活动中，引导学生思维由表及里进阶，由简单识记条件的反射式思维向理解实践的应用型思维进阶，在活动中让思维自由生长。

（二）追问启发，一题多解，思维由应用向分析进阶

问题1中第（4）问，笔者通过追问引导学生思考一题多解，启发学生思维由应用向分析进阶。

追问1：求证：∠BPD=90°有哪些常用方法？

生：勾股定理的逆定理。（这是这次考试中用得最多的方法）

证法1（生分享证明思路）：如图3，当点D坐标为（1/2，0）时，则点A（1/2，3/4）、B（-1/2，3/4）、P（0，1）、

M（0，3/4）、C（-1/2，0）。

基于以上求得的坐标，在Rt△ODP、Rt△BCD、在Rt△BPM中，利用勾股定理，可求得PD²、BD²、BP²，又因为PD²+BP²=5/4+5/16=25/16，且BD²=25/16，所以PD²+BP²=BD²，则∠BPD=90°，证毕。

追问2：上图3中，除熟悉的平面直角坐标系、抛物线、矩形外，你能找出一些我们常见（考）的组合模型吗？（让学生用不同笔色画出来，投影分享，主要有图4和图5两种情况）

追问3：如图4，由题意知∠BMP=∠POD=90°，

若已知∠BPD=90°，则可得出哪些结论？

生：△PBM与△DPO相似。

追问4：如图4，若已知∠MBP=∠OPD，可否证出

∠BPD=90°？如何证明？

生：可证。由∠BMP=90°，可知∠MBP+∠BPM=

90°，又∠MBP=∠OPD，则∠OPD+∠BPD=90°，即∠BPD=90°。

追问5：又该如何证明∠MBP=∠OPD？

生：由图5，由OP//AD得∠OPD=∠ADP，由“八字型”模型得∠ABP=∠ADP，故∠MBP=∠OPD。

追问6：“八字型”中∠BPD=90°可用吗？

生：不能。

追问7：又该如何证明∠MBP=∠OPD？∠MBP、

∠OPD可分别置于哪两个三角形中，它们特殊吗？三边可以表示吗？可以表示这两个角的三角函数吗？两个角的三角函数相等，则这两个角相等吗？

生：（讨论、交流）证法2：

通过正切函数的连等变换不难得出∠MBP=

∠OPD，再由∠BMP=90°，知∠MBP+∠BPM=90°，又有∠MBP=∠OPD，则∠OPD+∠BPM=90°，即∠BPD=90°。

追问8：比较各种解法优劣，归纳总结：方法1引入字母后运算量更大，解题时许多学生因运算量大，做一半就放弃了，有的运算出错了；方法2中引入字母后，边OD、OP、PM、BM均可表示，且运算量不大。

至于问题②连接PA，求证：PA2=PD·PE，正确率较高，在讲解中略去。

学习的意义在于学习者学到越来越多认识事物的程序，认清事物之间的联系，主动建构认知图式的过程。因此，笔者以如何证明直角的追问，引导学生对所学内容进行横向与纵向联结化思考，从而提高学生应用知识解决问题的能力。并且，笔者并不仅僅停留在知识应用及问题解决上，还通过一题多解，引导学生在感受解决问题多样化的同时，分析、比较、总结，优化了解题方法。这样不仅培养了学生分析问题和解决问题的能力，还培养了学生的辨析思维、判断能力和辩证思维。同时，优化解决问题方案的过程又是引导学生思维走向深度的过程，是引导学生由简单实践应用型思维向分析、辨析优劣的辩证思维进阶的过程。

（三）归纳思想，深度学习，思维从分析到创新进阶

问题1涉及当m=1/2时的特殊点，问题2涉及满足条件的任意一点，用含m的代数式表示动点A、D、B的坐标及线段BM、PM、OD等信息。计算tan∠OPD、tan∠PBM属于一般问题，适合用类比特殊情况的解题思想去完成，学生完成情况较好。

问题3开始将二次函数一般化，要使∠BPD=90°，只要∠MBP=∠OPD，即有tan∠PBM=tan∠OPD即可，此处训练了学生在图形和函数两个维度下切换思维的能力。

问题4则引导学生类比自主解决，当a、c满足ac=-1时，能使∠BPD=90°。

问题5的设计意图是，笔者了解到学生对问题6无处入手，只知道y=ax²+c是y=ax²+bx+c当b=0时的特殊形式，只注意到表面的“形”，而没能将y=ax²+c看成顶点式y=a（x+m）²+n中m=0这种特殊情况的“实”。部分学生甚至说“老师这里若写出提示，我就能想到了。”这也从侧面说明学生关注“形”，侧重形象性思维，思维需要进阶。而学生知道抛物线y=ax²+bx+c可化为抛物线y=a（x+b/2a）²+4ac-b²/4a线的形式，又知道函数y=ax²+4ac-b²/4a的图像与函数y=a（x+b/2a）²+4ac-b²/4a图像间的平移关系，问题6就能迎刃而解。再类比问题4知，当a·4ac-b²/4a=-1时，即b²- 4ac=4时，即可使∠BPD=90°。

这道试题，命题者参照教材中二次函数图像及性质的学习经历而命制，考查了由特殊到一般、数形结合的数学思想，解决问题时考查了学生阅读、探索、观察、思考、操作、推理、抽象、概括等数学思想方法及关键能力。笔者深刻体会到：具体内容的教学与数学思维的教学应有效结合，可最大限度地体现教学的价值，促进学生高阶思维的发展需要。本题作为压轴题，时间短，探究跳跃大，难度明显增大。这启发笔者，今后的教学不能就题讲题，要注重变式、拓展与创新；要注重引导学生从低阶思维向综合、拓展、创新型高阶思维进阶，真正落实课程标准中“创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”。