郭慧清

摘  要：课例“函数的极值与导数”对如何在课堂上发展学生的核心素养进行了富有启发性的教学实践. 结合课例，探讨教学内容中的概念原理、思想方法与核心素养之间的关系，并对如何利用这种关系发展数学核心素养进行分析，期望所得认识对一线教师实施高中新课程的教学有所启示．

关键词：极值与导数；概念原理；思想方法；核心素养

在高中数学新课程实施中，除了强调“四基”“四能”的教学外，特别重视在课堂教学中发展学生的数学核心素养. 但是，一线教师对以下问题普遍存在疑惑：如何理解具体教学内容中的数学核心素养？数学核心素养与教学内容中的概念原理、思想方法之间是怎样的关系？如何在日常课堂教学中发展学生的数学核心素养？下面结合课例“函数的极值与导数”，谈谈笔者在这方面的认识.

一、数学核心素养是数学教学的重要目标

发展学生的数学核心素养不是一日之功，必须通过课堂教学中的日积月累. 因此，发展学生的数学核心素养不仅是整个数学课程的教学目标，也是单元的教学目标，更要通过课时教学目标来体现.

“函数的极值与导数”一课给出的教学目标如下.

（1）学生能借助函数图象的变化感知“波峰”“波谷”“单调性的转折点”，生成极值的概念，体会类比、数形结合思想，发展学生的数学抽象和数学建模素养.

（2）通过三次多项式函数的极值判断，师生共同规范解答过程，学生能够归纳利用导数求函数极值的方法和步骤，领悟函数与方程、转化与化归思想，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.

（3）通过判断函数[fx=x3]是否有极值，运用导数工具或者数形结合方法，理解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件，发展学生的逻辑推理和直观想象素养.

（4）通过具体实例感受导数在研究函数中的作用，体会导数的意义. 通过群山起伏建立“勇攀高峰”的信心；通过“远近高低各不同”树立全面看待事物的世界观；通过“只缘身在此山中”体会极值与最值、局部与整体的关系，培养学生的全局观，落实立德树人的育人目标.

从上述教学目标中，我们看到执教教师对利用课堂教学发展学生的数学核心素养有充分的认识，比较全面地给出了与本节课教学内容密切相关的数学核心素养.

从严格意义上讲，每节课的教学内容都会涉及《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》给出的六个数学核心素养中的大部分，但从一节课的教学实际出发，我们认为应该选取与教学内容联系最密切的、对学生的发展最有效的数学核心素养列入课时教学目标.

例如，“函数的极值与导数”一课，通过滑雪运动员的滑雪路径、跳水运动员在空中运动的轨迹、桂林山水等实例抽象出有升有降的函数图象，并由此看到图象的升降有“分界点”，较好地从实际情境中抽象出了极值的概念，这一过程是发展学生数学抽象素养的重要机会；利用函数图象的升降与导数符号变化之间的关系，引导学生在思考、交流与辨析中建立极值与导数的联系，较好地发展学生的直观想象素养；在利用导数运算获取函数极值点和函数极值的过程中发展学生的数学运算素养. 所以选取数学抽象、直观想象、数学运算列进教学目标是恰当的，其他数学核心素养虽然也有涉及，但不必列入课时教学目标.

因此，笔者建议将本节课的教学目标调整为以下三个.

（1）从实际情境中抽象出具有升降的函数图象，通过观察函数图象的升降及其“分界点”的特征，归纳和抽象出函数极大（小）值概念，体会数形结合思想、归纳和类比思想，发展数学抽象和直观想象素养.

（2）通过具体可导函数的零点及其两侧导数符号的变化，发现并证明用导数求函数极值的基本原理，并通过实例明确基本原理中的条件是函数存在极值的充分条件，体会数形结合思想和转化思想，发展直观想象素养.

（3）通过用导数求函数极值的基本原理求具体函数的极值，归纳、整理求极值的步骤，体会算法思想，感悟数学运算和逻辑推理之间的关系，发展数学运算素养.

二、概念原理是数学核心素养的根，思想方法是数学核心素养的源

数学知识是有层次的. 没有数学概念，就不会有数学原理；没有数学概念与原理，就不能形成解決问题的数学思想与方法；没有数学思想与方法，就不可能让人的数学素养得以发展. 任何数学教学内容都会涉及不同层次的数学内容. 我们在设计教学目标并进行课堂具体教学实施时，应该充分注意到要使数学的思想与方法寓于数学概念的建立、数学原理的发现与证明及运用数学概念与原理解决具体问题之中. 同样，当一个人理解了数学的概念与原理，掌握了一定的数学思想与方法，他的数学素养也随之得以发展. 因此，数学概念与原理是数学核心素养的根，数学思想与方法是数学核心素养的源. 当我们进行某个数学内容的教学时，首先，应该分清其中的概念原理、思想方法，以及所涉及的数学核心素养；其次，应该设法将发展数学核心素养寓于具体的数学概念与原理、思想与方法的教学之中. 只有这样，发展学生的数学核心素养才不会成为一句空话，才能使数学育人成为现实.

在“函数的极值与导数”一课中，数学内容的层次如下.

概念：极大（小）值，极大（小）值点.

原理：若导数零点两侧的导数左正右负（左负右正），则该零点是函数的极大（小）值点.

思想方法：数形结合思想、算法思想、归纳与类比思想、转化思想.

核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理.

在“函数的极值与导数”一课中，执教教师通过建立极值的概念的教学过程，让学生充分体会归纳与类比思想；在寻求极值与导数之间的关系时，让学生充分体会数形结合思想和转化思想；在利用导数求极值的过程中，引导学生归纳解题步骤，重视算法思想. 在此基础上，将发展学生的数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理素养渗透在归纳与类比思想、数形结合思想、算法思想与转化思想的提升过程中，较好地达成了教学目标.

三、积累活动经验是发展数学核心素养的基础与前提

基本数学活动经验是“四基”之一，是发展学生数学核心素养的基础与前提. 学生理解数学概念与原理，体会其中的数学思想与方法，都是在一定的數学活动中得以实现的. 很难想象，一个没有多少数学活动经验的人会有很高的数学素养.

“函数的极值与导数”一课在安排学生的数学活动方面是出色的，举例如下.

学生建立极值与极值点的概念，是在观察、归纳跳水运动员的空中运动轨迹、滑雪运动员的运动路径和桂林山水等抽象出来的函数图象，并在分析其特征的基础上经历“观察—发现—归纳—概括—抽象”完成的，这一过程帮助学生积累了建立数学概念的经验.

在学生有了极值与极值点的概念后，教师安排了数学活动：如图1，函数定义在闭区间[x1，x8]上，图中哪些是极大值点？哪些是极小值点？在这一数学活动中，学生对[x1]是不是极大值点进行了充分的讨论，增加了概念辨析的经验.

在寻求可导函数的零点是否为极值点时，执教教师引导学生通过交流活动得出如图2和图3所示的图文信息，不仅明确了用导数求函数极值的基本原理，还让学生积累了利用数形结合思想建立直观与抽象之间联系的经验，有利于发展学生的直观想象素养.

在获得了用导数求函数极值的基本原理后，执教教师安排了以下数学活动.

判断下列函数是否有极值. 如果有，求出极值；如果没有，说明理由.

（1）[fx=2]；

（2）[fx=2x-3]；

（3）[fx=6x2-x-2]；

（4）[fx=sinx].

这一活动让学生用新方法解决“老问题”，让学生积累了建立系统知识的经验.

执教教师在学生完成“判断函数[fx=13x3-4x+4]是否有极值，如果有，求出极值”这一例题的基础上，安排学生自行写出求解步骤并交流，让学生积累了写算法步骤的经验，并深入体会算法思想，有利于发展数学运算素养.

在学生得出[fx=13x3-4x+4]的单调性、极值等性质后，执教教师安排学生画出函数[fx=13x3-4x+4]的图象（如图4），这一活动不仅让学生进一步体会了数形结合思想，发展了直观想象素养，也为学生利用函数图象研究函数性质积累了经验.

执教教师利用信息技术收集学生课堂思维信息，改进只靠“提问”“黑板板书”等传统方式收集信息的方式，不仅为点评学生存在的问题带来了便利，也增加了学生积累数学活动经验的时间与机会.

“函数的极值与导数”一课的教学中丰富有效的学生活动，不仅使学生积累了较多的数学活动经验，也启发我们认识这是落实“发展学生数学核心素养”这一教学目标的重要途径.

我们从“函数的极值与导数”一课中看到：发展学生的数学核心素养不应该只是课程理念，也不能只停留在口头上；发展学生的数学核心素养不仅是高中数学课程目标，也是单元教学目标，更应该渗透在日常课堂教学中，使学生数学核心素养的发展成为日积月累的过程. 如果能够处理好数学核心素养和教学内容中的数学概念与原理及数学思想与方法之间的关系，合理安排学生的数学活动，那么发展学生的数学核心素养就会成为一个自然而有效的过程.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.